Kwadratura Gaussa-Laguerre'a

W analizie numerycznej kwadratura Gaussa – Laguerre'a (nazwana na cześć Carla Friedricha Gaussa i Edmonda Laguerre'a ) jest rozszerzeniem metody kwadratury Gaussa do aproksymacji wartości całek następującego rodzaju:

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- x} f (x) \, dx.}

W tym przypadku

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- x} f (x) \,dx\około \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})}

gdzie x _i jest i -tym pierwiastkiem wielomianu Laguerre'a L _n ( x ), a waga w _i jest określona wzorem

{\ Displaystyle w_ {i} = {\ Frac {x_ {i}} {\ lewo (n + 1 \ prawo) ^ {2} \ lewo [L_ {n + 1} \ lewo (x_ {i} \ prawo) \right]^{2}}}.}

Poniższy kod Pythona z $i}}$ SymPy pozwoli na obliczenie wartości i z dokładnością do 20 cyfr: $\ displaystyle x_ {$

   

 
      
       
          
                     
      

 z  sympy  import  *  def  lag_weights_roots  (  n  ):  x  =  Symbol  (  "x"  )  root  =  Poly  (  laguerre  (  n  ,  x  ))  .  wszystkie_pierwiastki  ()  x_i  =  [  rt  .  ewalf  (  20  )  dla  rt  w  pierwiastkach  ]  w_i  =  [(  rt  /  ((  n  +  1  )  *  laguerre  (  n  +  1  ,  rt  ))  **  2  )  .  evalf  (  20  )  dla  rt  w  pierwiastkach  ]  return  x_i  ,  w_i  print  (  lag_weights_roots  (  5  ))

Bardziej ogólne funkcje

Aby zintegrować funkcję, $następujące$ przekształcenie

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f ( x)\,dx=\int _{0}^{\infty }f(x)e^{x}e^{-x}\,dx=\int _{0}^{\infty }g(x )e^{-x}\,dx}

gdzie ${\ Displaystyle g \ lewo (x \ prawo): = e ^ {x} f \ lewo (x \ prawo)}$ . W przypadku ostatniej całki stosuje się wtedy kwadraturę Gaussa-Laguerre'a. Należy zauważyć, że chociaż to podejście działa z analitycznego punktu widzenia, nie zawsze jest numerycznie stabilne.

Uogólniona kwadratura Gaussa-Laguerre'a

Mówiąc bardziej ogólnie, można również rozważyć całki, które mają znaną $x$ osobliwości przy = 0, dla pewnej liczby rzeczywistej ${\ displaystyle \ alpha > -1$ , co prowadzi do całek postaci: