Liniowy model prawdopodobieństwa

W statystyce liniowy model prawdopodobieństwa ( LPM) jest szczególnym przypadkiem modelu regresji binarnej . Tutaj zmienna zależna dla każdej obserwacji przyjmuje wartości 0 lub 1. Prawdopodobieństwo zaobserwowania 0 lub 1 w dowolnym przypadku jest traktowane jako zależne od jednej lub więcej zmiennych objaśniających . W przypadku „liniowego modelu prawdopodobieństwa” zależność ta jest szczególnie prosta i umożliwia dopasowanie modelu za pomocą regresji liniowej .

Model zakłada, że ​​dla wyniku binarnego ( $próba$ Bernoulliego ) i powiązanego z ${\ displaystyle X$ wektora zmiennych objaśniających, }

${\ Displaystyle \ Pr (Y = 1 | X = x) = x '\ beta.}$

Dla tego modelu

${\ Displaystyle E [Y | X] = \ Pr (Y = 1 | X) = x '\ beta,}$

stąd wektor parametrów β można oszacować metodą najmniejszych kwadratów . Ta metoda dopasowania byłaby nieefektywna i można ją ulepszyć, przyjmując schemat iteracyjny oparty na ważonych najmniejszych kwadratach , w którym model z poprzedniej iteracji służy do dostarczania oszacowań wariancji warunkowych, ${\ displaystyle \ operatorname {Var} (Y | X = x)}$ , które różniłyby się w zależności od obserwacji. Podejście to można odnieść do dopasowania modelu przez największe prawdopodobieństwo .

Wadą tego modelu jest to, że o ile nie zostaną nałożone ograniczenia $,$ współczynniki mogą implikować prawdopodobieństwa poza przedziałem jednostkowym ${\ displaystyle [0,1]}$ . Z tego powodu częściej stosowane są modele takie jak model logitowy czy model probitowy .

Formuła z utajoną zmienną

Bardziej formalnie, LPM może wynikać ze sformułowania o zmiennej ukrytej (zwykle można je znaleźć w literaturze ekonometrycznej), w następujący sposób: załóżmy następujący model regresji z ukrytą (nieobserwowalną) zmienną zależną:

${\ Displaystyle y ^ {*} = b_ {0} + \ mathbf {x} '\ mathbf {b} + \ varepsilon, \; \; \ varepsilon \ mid \ mathbf {x} \ sim U (-a, a ).}$

Krytycznym założeniem jest tutaj to, że składnik błędu tej regresji jest symetryczną zmienną losową jednorodną wokół zera, a zatem o średniej zerowej. Skumulowana funkcja $ε$ tutaj ${\ Displaystyle F _ {\ varepsilon |\ mathbf {x}} (\ varepsilon \ mid \ mathbf {x}) = {\ Frac {\ varepsilon + a} {2a}}.}$

Zdefiniuj zmienną wskaźnikową ${\ displaystyle y = 1}$ , jeśli ${\ displaystyle y ^ {*}> 0}$ i zero w przeciwnym razie, i rozważ prawdopodobieństwo warunkowe

${\ Displaystyle {\ rm {Pr}} (y ​​= 1 \ środek \mathbf {x} )={\rm {Pr}}(y^{*}>0\mid \mathbf {x} )={\rm {Pr}}(b_{0}+\mathbf {x} ' \mathbf {b} +\varepsilon >0\mid \mathbf {x} )}$

${\ Displaystyle = {\ rm {Pr}} (\ varepsilon > -b_ {0} - \ mathbf {x} '\mathbf {b} \mid \mathbf {x} )=1-{\rm {Pr}}(\varepsilon \leq -b_{0}-\mathbf {x} '\mathbf {b} \ mid \mathbf {x} )}$

${\ Displaystyle = 1-F _ {\ varepsilon |\ mathbf {x}} (-b_ {0} - \ mathbf {x} '\ mathbf {b} \ mid \ mathbf {x}) = 1- {\ frac { -b_{0}-\mathbf {x} '\mathbf {b} +a}{2a}}={\frac {b_{0}+a}{2a}}+{\frac {\mathbf {x} '\mathbf {b} }{2a}}.}$

Ale to jest liniowy model prawdopodobieństwa,

${\ Displaystyle P (y = 1 \ mid \ mathbf {x}) = \ beta _ {0} + \ mathbf {x} '\ beta}$

z mapowaniem

${\ Displaystyle \ beta _ {0} = {\ Frac {b_ {0} + a} {2a}}, \; \; \ beta = {\ Frac {\ mathbf {b}} {2a}}.}$

Ta metoda jest ogólnym narzędziem do uzyskiwania warunkowego modelu prawdopodobieństwa zmiennej binarnej: jeśli założymy, że rozkład składnika błędu jest logistyczny, otrzymamy model logitowy, natomiast jeśli założymy, że jest to rozkład normalny , otrzymamy probit model i, jeśli założymy, że jest to logarytm rozkładu Weibulla, komplementarny model log-log .

Zobacz też

• Przybliżenie liniowe

Dalsza lektura

•   Aldrich, John H .; Nelson, Forrest D. (1984). „Liniowy model prawdopodobieństwa” . Modele prawdopodobieństwa liniowego, logitowego i probitowego . Szałwia. s. 9–29. ISBN 0-8039-2133-0 .
•   Amemiya, Takeshi (1985). „Jakościowe modele odpowiedzi” . Zaawansowana ekonometria . Oksford: Basil Blackwell. s. 267–359. ISBN 0-631-13345-3 .
•   Wooldridge, Jeffrey M. (2013). „Dwójkowa zmienna zależna: liniowy model prawdopodobieństwa”. Ekonometria wprowadzająca: nowoczesne podejście (5. wydanie międzynarodowe). Mason, OH: południowo-zachodni. s. 238–243. ISBN 978-1-111-53439-4 .
• Horrace, William C. i Ronald L. Oaxaca. „Wyniki dotyczące obciążenia i niespójności zwykłych najmniejszych kwadratów dla liniowego modelu prawdopodobieństwa”. Listy ekonomiczne, 2006: tom. 90, s. 321–327