Lituus (matematyka)

Oddział dla dodatniego

r

$jest$ lituusa to spirala, w której kąt $promienia$ proporcjonalny do kwadratu .

Ta spirala, która ma dwie gałęzie zależne od znaku $r$ , jest asymptotyczna względem osi $x$ . Jego punkty przegięcia znajdują się w

{\ Displaystyle (\ theta, r) ​​= \ lewo ({\ tfrac {1} {2}}, \ pm {\ sqrt {2k}} \ prawej).}

Krzywa została nazwana na cześć starożytnego rzymskiego lituusa przez Rogera Cotesa w zbiorze dokumentów zatytułowanym Harmonia Mensurarum (1722), który został opublikowany sześć lat po jego śmierci.

Reprezentacje współrzędnych

Współrzędne biegunowe

Reprezentacje spirali Lituusa $we$ biegunowych

${\ Displaystyle R = {\ Frac {a} {\ sqrt {\ theta}}}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ theta \ geq 0}$ i ${\ Displaystyle k \ neq 0}$ .

Współrzędne kartezjańskie

Spiralę Lituusa ze $,$ biegunowymi przekonwertować na współrzędne kartezjańskie ${\ Displaystyle x = r \ cdot \ cos \ lewo (\ teta \ po prawej)}$ stosując zależności i ${\ Displaystyle y = r \ cdot \ sin \ lewo (\ teta \ po prawej) )}$ . Dzięki tej konwersji otrzymujemy parametryczne reprezentacje krzywej

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x & = {\ Frac {a} {\ sqrt {\ teta}}} \ cdot \ cos \ lewo (\ teta \ po prawej), \, \\ y& = {\ frac {a }{\sqrt {\theta}}}\cdot \sin \left(\theta \right).\,\\\end{wyrównane}}}$

Równania te można z kolei przeorganizować w taki sposób, że powstaje równanie składające się wyłącznie z wyrazów z 𝑥 i „𝑦”, które opisuje spiralę lituusa:

${\ Displaystyle {\ Frac {y} {x}} = \ dębnik \ lewo ({\ Frac {a} {x ^ {2} + y ^ {2} }}\Prawidłowy)}$

Wyprowadzenie równania we współrzędnych kartezjańskich

Podziel ${\ Displaystyle y}$ przez ${\ Displaystyle x}$ : ${\ Displaystyle {\ Frac {y} {x}} = {\ tfrac {{\ Frac {a} {\ sqrt {\ teta}}} \ cdot \ sin \ lewo (\ teta \ po prawej)} {{\ frac {a}{\sqrt {\theta}}}\cdot \cos \left(\theta \right)}}\Rightarrow {\frac {y}{x}}=\tan \left(\theta \right)}$
Rozwiąż równanie spirali Lituusa we współrzędnych biegunowych: ${\ Displaystyle r = {\ Frac {a} {\ sqrt {\ theta}}} \ Leftrightarrow \ theta = {\ frac {a^{2}}{r^{2}}}}$
${\ Displaystyle \ theta = {\ Frac {a ^ {2}} {r ^ {2}}}}$ : ${\ Frac {y}{x}}=\tan \left({\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)}$ 2
zastąpić ${\ Displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$ : ${\ Displaystyle {\ Frac {y} {x}} = \ tan \ lewo ({\ Frac {a ^ {2}}} {\ lewo ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \right)^{2}}}\right)\Rightarrow {\frac {y}{x}}=\tan \left({\frac {a^{2}}{x^{2}+y^{ 2}}}\prawo)}$

Właściwości geometryczne

Krzywizna

Krzywiznę spirali lituusa można określić za pomocą wzoru

${\ Displaystyle \ kappa = \ lewo (8 \ cdot \ teta ^ {2} -2 \ prawo) \ cdot \ lewo ( {\frac {\theta}{1+4\cdot\theta^{2}}}\right)^{\frac{2}{3}}}$ .

Długość łuku

Ogólnie rzecz biorąc, długość łuku spirali lituusa nie może być wyrażona jako wyrażenie w formie zamkniętej , ale długość łuku spirali lituusa można przedstawić jako wzór wykorzystujący funkcję hipergeometryczną Gaussa :

${\ Displaystyle L = 2 \ cdot {\ sqrt {\ teta}} \ cdot \ nazwa operatora {_ {2} F_ {1}} \ lewo (- {\ Frac {1} {2}}, \ ,-{\frac {1}{4}};\,{\frac {3}{4}};\,-{\frac {1}{4\cdot \theta ^{2}}}\right) -2\cdot {\sqrt {\theta _{0}}}\cdot \operatorname {_{2}F_{1}} \left(-{\frac {1}{2}},\,-{\ frac {1}{4}};\,{\frac {3}{4}};\,-{\frac {1}{4\cdot \theta _{0}^{2}}}\right) }$