Logika przyjazna niezależności

Logika przyjazna niezależności ( logika IF ; zaproponowana przez Jaakko Hintikkę i Gabriela Sandu w 1989) jest rozszerzeniem klasycznej logiki pierwszego rzędu (FOL) za pomocą uciętych kwantyfikatorów postaci ${\ displaystyle (\ istnieje v / V)}$ i ${\ Displaystyle (\ forall v/V)}$ , gdzie ${\ Displaystyle V}$ jest skończonym zbiorem zmiennych. $,$ odczytanie $jest następujące$$jest funkcjonalnie$ istnieje funkcja w ” Logika JEŻELI pozwala wyrazić bardziej ogólne wzorce zależności między zmiennymi niż te, które są ukryte w logice pierwszego rzędu. Ten większy poziom ogólności prowadzi do faktycznego wzrostu siły wyrazu; zbiór zdań IF może charakteryzować te same klasy struktur, co $)$ drugiego rzędu (

Na przykład może wyrażać rozgałęzione zdania kwantyfikatora , takie jak wzór ${\ Displaystyle \exists c\forall x\exists y\forall z(\exists w/\{x,y\})((x=z\leftrightarrow y=w)\land y\neq c)}$ który wyraża nieskończoność w pustej sygnaturze; nie można tego zrobić w FOL. Dlatego $displaystyle$$}$$y$ może generalnie wyrazić tego wzorca zależności, w którym zależy tylko od i zależy do ${ \$ tylko na i do $z}$$\ displaystyle$ . Logika JEŻELI jest bardziej ogólna niż kwantyfikatory rozgałęziające $\ forall x \ istnieje y (\ istnieje z / \ {x \ })}$ Displaystyle , co wyraża, że ​​zależy od ${\ displaystyle x}$ i zależy od ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y$$}$ y ${\ displaystyle z}$ nie zależy od ${\ displaystyle x}$ .

Wprowadzenie logiki IF było częściowo motywowane próbą rozszerzenia semantyki gry logiki pierwszego rzędu na gry z niedoskonałą informacją . Rzeczywiście, semantykę zdań JEŻELI można podać w terminach tego rodzaju gier (lub, alternatywnie, za pomocą procedury translacji na egzystencjalną logikę drugiego rzędu). Semantyki dla formuł otwartych nie można podać w postaci semantyki Tarskiego ; odpowiednia semantyka musi określać, co to znaczy, że formuła jest spełniona przez zbiór przypisań wspólnej dziedziny zmiennej (zespół ) , a nie przez pojedyncze przypisanie. taki Semantyka zespołowa została opracowana przez Hodgesa .

Logika przyjazna niezależności jest równoważna tłumaczeniu na poziomie zdań z wieloma innymi systemami logicznymi opartymi na semantyce zespołowej, takimi jak logika zależności , logika przyjazna zależności, logika wykluczania i logika niezależności; z wyjątkiem tej ostatniej, wiadomo, że logika JEŻELI jest równoekspresyjna z tymi logikami również na poziomie formuł otwartych. Jednak logika JEŻELI różni się od wszystkich wyżej wymienionych systemów tym, że brakuje jej lokalności : znaczenia otwartej formuły nie można opisać tylko w kategoriach wolnych zmiennych formuły; zamiast tego zależy od kontekstu, w którym występuje formuła.

Logika przyjazna niezależności ma wiele wspólnych właściwości metalologicznych z logiką pierwszego rzędu, ale istnieją pewne różnice, w tym brak domknięcia pod (klasyczną, sprzeczną) negacją i większa złożoność decydowania o ważności formuł. Rozszerzona logika IF rozwiązuje problem domknięcia, ale jej semantyka teorii gier jest bardziej skomplikowana i taka logika odpowiada większemu fragmentowi logiki drugiego rzędu, właściwemu podzbiorowi ${\ Displaystyle \ Delta _ {2} ^ { 1}}$ .

Hintikka argumentował, że JEŻELI i rozszerzona logika JEŻELI powinny być używane jako podstawa podstaw matematyki ; propozycja ta spotkała się w niektórych przypadkach ze sceptycyzmem.

Składnia

W literaturze pojawiło się kilka nieco odmiennych przedstawień logiki proniepodległościowej; tutaj podążamy za Mannem i in. (2011).

Terminy i wzory atomowe

Dla ustalonej sygnatury σ terminy i wzory atomowe są zdefiniowane dokładnie tak, jak w logice pierwszego rzędu z równością .

Formuły JEŻELI

Formuły logiki JEŻELI definiuje się następująco:

1. Każda formuła atomowa $.$ formułą JEŻELI
2. Jeśli $to$ formułą JEŻELI, $.$ JEŻELI
3. Jeśli ${$$ψ$$}$ \ \ phi $psi$ są JEŻELI formuły.
4. Jeśli $formułą$ , jest zmienną i jest skończonym zbiorem zmiennych, to ${\ displaystyle \$${\ Displaystyle (\ istnieje)$$}$ i ${\ Displaystyle (\ forall v/V) \ varphi}$ są również formułami JEŻELI.

Wolne zmienne

Zbiór $}} (\ varphi$ zmiennych formuły JEŻELI jest zdefiniowany indukcyjnie w następujący sposób: $}$

1. Jeśli $jest$$formułą$ atomową, to występujących w niej
2. ${\ Displaystyle {\ mbox {wolny}} (\ lnot \ varphi) = {\ mbox {wolny}} (\ varphi)}$ ;
3. ${\ Displaystyle {\ mbox {wolny}} (\ varphi \ vee \ psi) = {\ mbox {wolny}} (\ varphi) \ puchar {\ mbox{Wolny}}(\psi)}$ ;
4. ${\ Displaystyle {\ mbox {wolny}} ((\ istnieje v / V)\varphi )={\mbox{Free}}((\forall v/V)\varphi)=({\mbox{Free}}(\varphi)\backslash \{v\})\cup V}$ .

Ostatnia klauzula jest jedyną, która różni się od klauzul dla logiki pierwszego rzędu, z tą różnicą, że również zmienne w zbiorze ukośników $liczone$ jako zmienne wolne.

Zdania JEŚLI

Formuła JEŻELI $\$ , że $Displaystyle {\ mbox {swobodny}} (\ phi) = \ pusty zbiór$ jest zdaniem JEŻELI .

Semantyka

Zaproponowano trzy główne podejścia do definicji semantyki logiki IF. Pierwsze dwa, oparte odpowiednio na grach o niedoskonałej informacji i na Skolemizacji, są używane głównie do definiowania tylko zdań IF. Ten pierwszy uogólnia podobne podejście do logiki pierwszego rzędu, która zamiast tego opierała się na grach o doskonałej informacji. Trzecie podejście, semantyka zespołowa , to semantyka kompozycyjna w duchu semantyki Tarskiego. Jednak ta semantyka nie definiuje, co to znaczy, że formuła jest spełniona przez przypisanie (raczej przez zbiór zadań). Pierwsze dwa podejścia zostały opracowane we wcześniejszych publikacjach dotyczących logiki if; trzeci przez Hodgesa w 1997 roku.

W tej sekcji rozróżniamy te trzy podejścia, pisząc różne pedices, jak w ${\ Displaystyle \ modele _ {GTS}, \ modele _ {Sk}, \ modele}$ . $Ponieważ te trzy podejścia są zasadniczo równoważne,$ w dalszej części artykułu będzie używany symbol .

Semantyka teoretyczna gier

Game-Theoretical Semantics przypisuje wartości prawdy do zdań JEŻELI zgodnie z właściwościami niektórych gier 2-osobowych o niedoskonałych informacjach. Dla ułatwienia prezentacji wygodnie jest kojarzyć gry nie tylko ze zdaniami, ale także z formułami. Dokładniej $,$$definiuje$ każdej przez struktura i przypisanie ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ Displaystyle s: U \ supseteq {\ mbox {Wolny}} (\ varphi) \ rightarrow {\ mathcal {M}}}$ .

Gracze

$ma dwóch graczy$ semantyczna lub Falsifier)

Zasady gry

$są$ ruchy w grze formuły $uproszczenia$ najpierw zakładamy, że jest w postaci normalnej , z symbolami negacji występującymi tylko przed podformułami atomowymi.

1. φ {\ displaystyle $jest$$varphi}$ jest dosłowne, gra się kończy, a jeśli prawdziwa w (w sensie pierwszego rzędu), $varphi}$ wtedy wygrywa Eloise; w przeciwnym razie Abelard wygrywa.
2. Jeśli ${\ Displaystyle \ varphi = \ psi _ {1} \ ziemi \ psi _ {2}}$ , to Abelard wybiera jedną z podformuł $}$ } $_$ odpowiednia _
3. Jeśli ${\ Displaystyle \ varphi = \ psi _ {1} \ lor \ psi _ {2}}$ , to Eloises wybiera jedną z podformuł ${\ Displaystyle \ psi _ {i}}$ , $_$ odpowiednia _
4. Jeśli ${\ Displaystyle \ varphi = (\ forall v / V) \ psi}$ , to Abelard wybiera element ${\ Displaystyle a}$ z ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} }$ i gra się ${\ Displaystyle G (\ psi, {\ mathcal {M}}, s (a/v)}} .$
5. Jeśli ${\ Displaystyle \ varphi = (\ istnieje v / V) \ psi}$ , to Eloise wybiera element ${\ Displaystyle a}$$mathcal {M}} }$ \ i gra się ${\ Displaystyle G (\ psi, {\ mathcal {M}}, s (a/v)}} .$

Bardziej ogólnie, jeśli $negacji$ , możemy stwierdzić, jako regułę negacji, że kiedy gra sol $\ Displaystyle G (\ lnot \ varphi, {\ mathcal {M}}, s)}$ , gracze rozpoczynają grę podwójną ${\ Displaystyle G ^ {*} (\ varphi, {\ mathcal {M} },s)}$ , w którym zamieniono role Weryfikatorów i Falsyfikatorów.

Historie

$_$ sekwencja _ Na końcu każdej historii $jakaś$ podgra sol $\ Displaystyle G (\ psi _ {h}, {\ mathcal {M}}, s_ {h}) }$ jest odtwarzane; nazywamy przypisanie związane z ${\ displaystyle s_ {h}}$ $ψ$$}$ _ {h wystąpienie podformuły związane z ${\ displaystyle h}$ . Graczem powiązanym z jest $i ∨$ w przypadku, gdy najbardziej zewnętrznym operatorem logicznym w jest $\ displaystyle \ istnieje}$$\ lor}$ lub $\ displaystyle \ lor}$ { Abelard w przypadku, gdy jest to ${\ displaystyle \ land}$ lub ${\ Displaystyle \ forall}$ .

Zbiór dozwolonych ruchów w historii to $Displaystyle$${\ mathcal {M}}},$$jeśli$ najbardziej zewnętrzny operator $}$$\ Displaystyle \ psi _ {h$ jest ${\ Displaystyle \ istnieje}$ lub ${\ Displaystyle \ forall}$ ; jest ${\ Displaystyle \ {L, R \}}$ ( ${\ Displaystyle L, R}$ będąc dowolnymi dwoma odrębnymi obiektami, symbolizującymi „lewo” i „prawo”) w przypadku, gdy najbardziej zewnętrznym operatorem jest ${\ displaystyle \ psi _ {h}}$$}$ { $lor$ .

Biorąc pod uwagę dwa przypisania $)$$Displaystyle s \ sim _ {V} t}$ domeny i piszemy ${\ Displaystyle V \ subseteq dom (s)}$ jeśli ${\ Displaystyle s (w) = t (w)}$ na dowolnej zmiennej ${\ Displaystyle w \ w dom (s) \ setminus V}$ .

Niedoskonałe informacje są wprowadzane do gier poprzez zastrzeżenie, że niektóre historie są nie do odróżnienia dla powiązanego gracza; mówi się, że nierozróżnialne historie tworzą „zbiór informacji”. $się w$ jeśli historia $znajduje$$,$ informacji , gracz powiązany z $.$ czy jest w innym miejscu historia ja $\ displaystyle I}$ . Rozważmy dwie historie $h'}$${\ Displaystyle (Qv / V) \ chi}$$.$ , że powiązane identycznymi wystąpieniami podformuł postaci ( ${\ Displaystyle Q = \ istnieje}$ lub ${\ Displaystyle \ forall}$ ); jeśli ponadto ${\ Displaystyle s_ {h} \ sim _ {V} s_ {h'}}$ piszemy ${\ Displaystyle h \ sim _ {\ istnieje} h'}$ (w przypadku ${\ displaystyle Q = \ istnieje}$ ) lub ${\ Displaystyle h \ sim _ {\ forall} h'}$ (w przypadku ${\ Displaystyle Q = \ forall}$ ), aby określić, że te dwie historie są nie do odróżnienia dla Eloise, wzgl. dla Abelarda. Podajemy również ogólnie zwrotność tej relacji: jeśli ${\ Displaystyle \ psi = \ chi _ {1} \ lor \ chi _ {2}}$ , to ${\ styl wyświetlania h\sim _{\istnieje}h'}$ ; i jeśli ${\ Displaystyle \ psi = \ chi _ {1} \ ziemia \ chi _ {2}}$ , to ${\ Displaystyle h \ sim _ {\ forall} h'}$ .

Strategie

W przypadku ustalonej gry $dla$ H $_ {\ istnieje$ do $zbioru$ którym związana jest Eloise, i podobnie dla Abelarda.

Strategia $dla$ Eloise w grze w jest grać, legalny ruch; dokładniej, dowolna funkcja ${\ Displaystyle \ sigma: H_ {\ istnieje} \ strzałka w prawo \ prod _ {h \ w H_ {\ istnieje}} A (h)}$ takie, że ${\ Displaystyle \ sigma (h) \ w A (h)}$ dla każdej historii ${\ Displaystyle h \ w H _ {\ istnieje}}$ . Strategie Abelarda można zdefiniować dwojako.

Strategia dla Eloise jest jednolita , jeśli za każdym razem, gdy ${\ Displaystyle h \ sim _ {\ istnieje} h'}$ , ${\ Displaystyle \ sigma (h) = \ sigma (h')}$ ; dla Abelarda jeśli implikuje ${\ Displaystyle h \ sim _ {\ forall} h$${\ Displaystyle \ sigma (h) = \ sigma (h')}$ .

Strategia dla Eloise wygrywa , jeśli Eloise wygrywa w każdej historii terminali, $do$ której można dotrzeć, grając zgodnie z $displaystyle \ sigma}$ . Podobnie dla Abelarda.

Prawda, fałsz, nieokreśloność

Zdanie $jest$ prawdziwe w strukturze ( $}$$} \ modele _ {$ + ), jeśli Eloise ma jednolitą strategię wygrywającą w grze ${\ Displaystyle G (\ varphi, {\ mathcal {M}}, \ emptyset)}$ . To jest fałszywe ( ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} \ modele _ {GTS} ^ {-} \ varphi}$ ), jeśli Abelard ma zwycięską strategię. Nie jest określone , czy ani Eloise, ani Abelard nie mają zwycięskiej strategii.

Konserwatyzm

Tak zdefiniowana semantyka logiki IF jest konserwatywnym rozszerzeniem semantyki pierwszego rzędu w następującym sensie. Jeśli $JEŻELI z pustymi zestawami ukośników,$$skojarz z$ wzór pierwszego rzędu, który jest z nim identyczny, z wyjątkiem tego, że każdy kwantyfikator $v$ się odpowiednim kwantyfikatorem pierwszego rzędu $Qv}$ . wtedy ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} \ modele _ {GTS} ^ {+} \ varphi}$ iff ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} \ modele \ varphi '}$ w sensie Tarskim; i ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} \ modele _ {GTS} ^ {-} \ varphi}$ iff ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} \ nie \ modele \varphi '}$ w sensie Tarskim.

Otwarte formuły

Bardziej ogólne gry mogą być użyte do przypisania znaczenia (prawdopodobnie otwartym) formułom JEŻELI; dokładniej, możliwe jest zdefiniowanie, co to znaczy, że formuła JEŻELI $ma$$spełniona$ strukturze przez zespół ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$ (zestaw przypisań wspólnej domeny zmiennej $}$ { ${\ mathcal {M}$ ) Powiązane gry ${\ Displaystyle G (\ varphi, M, X)}$ zacznij od losowego wyboru zadania ${\ Displaystyle s \ w X}$ ; po tym początkowym ruchu rozgrywana jest gra sol $\ Displaystyle G (\ varphi, M, s)}$ Istnienie zwycięskiej strategii dla Eloise definiuje pozytywną satysfakcję ( ${\ Displaystyle M, X \ modele _ {GTS} ^ {+} \ varphi}$ ), a istnienie zwycięskiej strategii dla Abelarda definiuje negatywną satysfakcję ( ${\ Displaystyle M, X \ modele _{GTS}^{-}\varphi}$ ). Na tym poziomie ogólności semantykę teorii gier można zastąpić podejściem algebraicznym, semantyką zespołową (zdefiniowaną poniżej).

Semantyka Skolema

Alternatywnie, definicję prawdy dla zdań JEŚLI można podać za pomocą tłumaczenia na egzystencjalną logikę drugiego rzędu. Tłumaczenie uogólnia Skolemizacji logiki pierwszego rzędu. Fałsz jest definiowany przez podwójną procedurę zwaną Kreiselizacją.

Skolemizacja

$uwagę$ formułę $zmiennych$ definiujemy jej skolemizację zrelatywizowaną . Dla każdego kwantyfikatora egzystencjalnego $,$ niech fa $}$$}$ być nowym symbolem funkcji („funkcja skolema”). Piszemy dla wzoru, który otrzymuje się zastępując $t )}$ wolne wystąpienia zmiennej ${\ Displaystyle Subst (\ varphi, v,$${\ displaystyle v}$ z terminem ${\ displaystyle t}$ . Skolemizacja względem ${\ displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle U}$ , oznaczony ${\ Displaystyle {\ mbox {Sk}} _ {U} (\ varphi)}$ , jest zdefiniowany przez następujące klauzule indukcyjne:

1. ${\ Displaystyle \ operatorname {Sk} _ {U} (\ varphi) = \ varphi},$$jeśli$ jest .
2. ${\ Displaystyle \ operatorname {Sk} _ {U} (\ psi \ lor \ chi) = \ operatorname {Sk} _ { U}(\psi)\lor \operatorname {Sk} _{U}(\chi)}$ .
3. ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Sk} _ {U} (\ psi \ ziemia \ chi) = \ operatorname {Sk} _ { U}(\psi)\land \nazwa_operatora {Sk} _{U}(\chi)}$ .
4. ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Sk} _ {U} ((\ forall v / V) \ psi) = \ dla wszystkich v\operatorname {Sk} _{U\cup \{v\}}(\psi)}$ .
5. ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Sk} _ {U} ((\ istnieje v / V) \ psi) = Subst (\ nazwa operatora {Sk} _ {U \ kubek \ {v \}} (\ psi), v, f_ {v}(y_{1},...,y_{n}))}$ , gdzie $\ Displaystyle y_ {1}, ..., y_ {n}}$${\ Displaystyle U \ setminus V}$ to lista zmiennych w .

Jeśli jest $zdaniem IF$ jego (niezrelatywizowana) Skolemizacja jest zdefiniowana jako ${\ Displaystyle {\ mbox {Sk}} (\ varphi) = {\ mbox { Sk}}_{\varnic}(\varphi)}$ .

Kreiselizowanie

Biorąc pod uwagę formułę JEŻELI $skojarz , z każdym$ występującym w nim kwantyfikatorem uniwersalnym ${\ Displaystyle (\ forall v/V)} , nowy symbol funkcji$${\ displaystyle g_ { v}}$ („funkcja Kreisela”). Następnie Kreiselization względem $\ varphi)}$ zestawu zmiennych ${\ Displaystyle {\ mbox {Kr}} _ {U} ($${\ Displaystyle U \ supseteq {\ mbox {Wolny}} (\ varphi)}$ jest zdefiniowany przez następujące klauzule indukcyjne:

1. $\ operatorname {Kr} _ {U} (\ varphi) = \ lnot \ varphi},$$jeśli$ jest dosłowne.
2. ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Kr} _ {U} (\ psi \ ziemia \ chi) = \ nazwa operatora {Kr} _ { U}(\psi)\lor \nazwa_operatora {Kr} _{U}(\chi)}$ .
3. ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Kr} _ {U} (\ psi \ lor \ chi) = \ nazwa operatora {Kr} _ { U}(\psi)\land \nazwa_operatora {Kr} _{U}(\chi)}$ .
4. ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Kr} _ {U} ((\ forall v / V) \ psi) = Subst (\ nazwa operatora {Kr} _ {U \ kubek \ {v \}} (\ psi), v, g_ {v}(y_{1},...,y_{n}))}$ , gdzie $\ Displaystyle y_ {1}, ..., y_ {n}}$${\ Displaystyle U \ setminus V}$ to lista zmiennych w .
5. ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Kr} _ {U} ((\ istnieje v / V) \ psi) = \ dla wszystkich v\nazwa operatora {Kr} _{U\cup \{v\}}(\psi )}$

Jeśli jest $zdaniem JEŻELI$ jego (niezrelatywizowana) Kreiselizacja jest zdefiniowana jako ${\ Displaystyle {\ mbox {Kr}} (\ varphi) = {\ mbox { Kr}}_ {\varnic}(\varphi)}$ .

Prawda, fałsz, nieokreśloność

Biorąc pod uwagę zdanie JEŻELI $,$ kwantyfikatorami egzystencjalnymi, strukturą $i listą$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$ i listą $f} n$ { $\ displaystyle n}$ funkcji odpowiednich arrity oznaczamy jako ${\ Displaystyle ({\ mathcal {M}}, {\ vec {f}})}$ M $n} styl wyświetlania {\ mathcal {M}}}$ który przypisuje funkcje jako interpretacje funkcji Skolema . $displaystyle {\ vec {f$$}}$ }

Zdanie JEŻELI jest prawdziwe na strukturze pisanej ${$$\ varphi }$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} \ modele _ {\ mbox {Sk}} ^$${\ Displaystyle ({\ mathcal {M}}, {\vec {f}})\modele {\mbox{Sk}}(\varphi)}$ jeśli istnieje krotka $funkcji$ takich, że . Podobnie ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} \ modele _ {\ mbox {Sk}} ^ {-} \ varphi},$ jeśli istnieje krotka ${\ Displaystyle {\ vec {f}}}$ funkcji takich że ${\ Displaystyle ({\ mathcal {M}}, {\ vec {f}}) \ modele {\ mbox {Kr}} (\ varphi)}$ ; i ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} \ modele _ {\ mbox {Sk}} ^ {0} \ varphi} ,$ jeśli żaden z poprzednich warunków nie jest spełniony.

Dla każdego zdania JEŻELI Skolem Semantics zwraca te same wartości, co semantyka teorii gier.

Semantyka zespołu

Za pomocą semantyki zespołowej możliwe jest złożenie wyjaśnienia semantyki logiki IF. Prawda i fałsz opierają się na pojęciu „spełnialności formuły przez zespół”.

Zespoły

Niech $będzie$ strukturą i niech $}$ v ${\ Displaystyle V = \ {v_ {1}, \ ldots, v_ {n}$ będzie skończonym zbiorem zmiennych. Następnie zespół nad domeną jest zbiorem zadań nad domeną $\$${$$displaystyle {\ mathcal {M}}}$ z domeną $V}$ , czyli zestaw funkcji ${$ do ${\ Displaystyle$ \ $mathcal {M}}$ }

Duplikowanie i uzupełnianie zespołów

Duplikowanie i uzupełnianie to dwie operacje na zespołach, które są związane z semantyką kwantyfikacji uniwersalnej i egzystencjalnej.

1. $mathcal {M}}/v]}$$}$$uwagę$ zespół strukturą zmienną zespół $Displaystyle$$X$ to zespół ${\ Displaystyle \ {s (a / v) | s \ w X, a \ w {\ mathcal {M}} \}}$ .
2. Biorąc pod uwagę zespół nad strukturą $,$$mathcal {M}}}$ \ $\ rightarrow$ { zmienna ${\ Displaystyle v}$ , zespół uzupełniający ${\ Displaystyle X [F / v]}$ to zespół ${\ Displaystyle \ {s (F (s) / v) | s \ w X \}}$ .

Zwyczajowo zastępuje się powtarzające się zastosowania tych dwóch operacji bardziej zwięzłymi zapisami, takimi jak ${\ Displaystyle (X [{\ mathcal {M}} / u]) [F / v]}$ ( $]}$ .

Jednolite funkcje w zespołach

Jak wyżej, biorąc pod uwagę dwa przypisania ${ \ Displaystyle s (w) = t (w)}$ tą samą domeną zmiennej, piszemy $s \ sim _ {V} t$$t {$ if dla każdej zmiennej ${\ Displaystyle w \ in dom (s) \ setminus V}$ .

$\$ pod uwagę zespół na strukturze i skończony zbiór $displaystyle {$ mówimy, że funkcja $displaystyle {$$\$ jest ${\ Displaystyle V}$ -jednolity, jeśli ${\ Displaystyle F (s) = F (t)}$ ilekroć ${\ displaystyle s \ sim _ {V} t}$ .

Klauzule semantyczne

Semantyka zespołu jest trójwartościowa w tym sensie, że formuła może być pozytywnie usatysfakcjonowana przez zespół na danej strukturze lub negatywnie przez nią usatysfakcjonowana, albo żadna. Klauzule semantyczne dla pozytywnej i negatywnej satysfakcji są definiowane przez jednoczesną indukcję na syntaktycznej strukturze formuł JEŻELI.

Pozytywna satysfakcja:

1. ${\ Displaystyle \! {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {+} Rt_ {1} \ ldots t_ {n}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zadania $_$ _ $_$ _ sens logiki pierwszego rzędu (czyli krotki ${\ Displaystyle \! (s (t_ {1}) \ ldots s (t_ {n})}}$ jest w interpretacji ${\ Displaystyle R ^ {\ mathcal {M}} }$ z ${\ displaystyle R}$ ).
2. ${\ Displaystyle \! {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {+} t_ {1} = t_ {2}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zadania $w$ pierwszego $_$ _ -logika porządku (czyli ${\ Displaystyle s (t_ {1}) = s (t_ {2})}$ ).
3. ${\ Displaystyle \! {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {+} \ lnot \ phi}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \! {\ mathcal {M}},X\modele ^{-}\phi}$ .
4. ${\ Displaystyle \! {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {+} \ varphi \ klin \ psi}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \! {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {+} \ varphi}$ i ${\ Displaystyle \! {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {+} \ psi}$ .
5. ${\ Displaystyle \! {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {+} \ varphi \ vee \ psi}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją zespoły ${\ Displaystyle \! Y}$ i ${\ Displaystyle \! Z}$ takie, że ${\ Displaystyle X = Y \ kubek Z}$ i ${\ Displaystyle \! {\ mathcal {M}}, Y \ modele ^ {+}\varphi}$ i ${\ Displaystyle \! {\ mathcal {M}}, Z \ modele ^ {+} \ psi}$ .
6. ${\ Displaystyle \! {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {+} (\ forall v / V) \ varphi} wtedy i tylko wtedy,$ gdy ${\ Displaystyle \! {\ mathcal {M}}, X [M / v] \ modele ^ {+} \ varphi}$ .
7. ${\ Displaystyle \! {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {+} (\ istnieje v / V) \ varphi}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ${\ Displaystyle V}$ -jednolita funkcja ${\ Displaystyle F: X \ rightarrow M}$ taka, że ${\ Displaystyle \! {\ mathcal {M}}, X [F/v]\modele ^{+}\phi }$ .

Negatywne zadowolenie:

1. ${\ Displaystyle \! {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {-} Rt_ {1} \ ldots t_ {n}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zadania ${\ Displaystyle s \ w X}$ , krotka ${\ Displaystyle \! (s (t_ {1}) \ ldots s (t_ {n})) }$ nie jest w interpretacji ${\ Displaystyle R ^ {\ mathcal {M}}}$ z ${\ displaystyle R}$ .
2. ${\ Displaystyle \! {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {-} t_ {1} = t_ {2}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zadania ${\ Displaystyle s \ w X}$ , ${\ Displaystyle s (t_ {1}) \ neq s (t_ {2})}$ .
3. ${\ Displaystyle \! {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {-} \ lnot \ phi}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \! {\ mathcal {M}},X\modele ^{+}\phi}$ .
4. ${\ Displaystyle \! {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {-} \ varphi \ klin \ psi}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją zespoły ${\ Displaystyle \! Y}$ Z ${\ Displaystyle \! Z}$ tak, że ${\ Displaystyle X = Y \ kubek Z}$$mathcal {M}}, Y \ modele ^ {-}\varphi}$ \ i ${\ Displaystyle \! {\ mathcal {M}}, Z \ modele ^ {-} \ psi}$ .
5. ${\ Displaystyle \! {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {-} \ varphi \ vee \ psi}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \! {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {-} \ varphi}$ i ${\ Displaystyle \! {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {-} \ psi}$ .
6. ${\ Displaystyle \! {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {-} (\ forall v / V) \ varphi}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ${\ Displaystyle V}$ -jednolita funkcja ${\ Displaystyle F: X \ rightarrow M}$ taka, że ${\ Displaystyle \! {\ mathcal {M}}, X [F/v]\modele ^{-}\phi}$ .
7. ${\ Displaystyle \! {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {-} (\ istnieje v / V) \ varphi}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \! {\ mathcal {M}}, X [M / v] \ modele ^ {-} \ varphi}$ .

Prawda, fałsz, nieokreśloność

Zgodnie z semantyką zespołu, zdanie JEŻELI $mówi$ się, że jest prawdziwe ( ) na strukturze ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} \ modele ^ {+}$$} \displaystyle {\mathcal {M}}}$ , jeśli jest spełniony na ${\mathcal {M}}$ przez pojedynczy zespół $\{\emptyset \}$ , w symbolach: ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}, \ {\ pusty zestaw \} \ modele ^ {+} \ varphi}$ . Podobnie mówi się, że jest fałszywy ( ) na $Displaystyle$${\ mathcal {M}} \ modele ^ {-} \ varphi}$ na $⊨ - φ {\ Displaystyle {\ mathcal {M}} }}$ jeśli ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}, \ {\ pusty zbiór \} \ modele ^ {-} \ varphi}$ ; mówi się, że jest nieokreślony ( ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} \ modele ^ {0} \ varphi}$ ) jeśli ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}, \ {\ pusty zestaw \} \ nie \ modele ^ {+} \ varphi}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}, \ {\ pusty zbiór \} \ nie \ modele ^ {-} \ varphi}$ .

Związek z semantyką teorii gier

Dla każdego zespołu $dowolnej$${ \ mathcal {M}}, X \ modele ^ {+} \ varphi}$ i formule IF $displaystyle$ : $\$ iff ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}, X \ modele _ {GTS} ^ {+} \ varphi }$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {-} \ varphi}$ iff ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}, X \ modele _ {GTS} ^ {-}\varphi}$ .

Z tego od razu wynika, że ​​dla zdań ${\ Displaystyle \ varphi}$ , ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} \ modele ^ {+} \ varphi \ Leftrightarrow { \ mathcal {M}} \ modele _ {GTS} ^ {+} \ varphi}$ , ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} \ modele ^ {-} \ varphi \Leftrightarrow {\mathcal {M}}\models _{GTS}^{-}\varphi}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} \ modele ^ {0} \ varphi \ Strzałka w lewo {\ mathcal {M}} \ modele _ {GTS} ^ {0} \ varphi }$ .

Pojęcia równoważności

Ponieważ logika JEŻELI jest, w swojej zwykłej akceptacji, trójwartościowa, interesujących jest wiele pojęć równoważności formuł.

Równoważność formuł

Niech $formułami$ .

${\ Displaystyle \ varphi \ modele ^ {+} \ psi}$ ( ${\ Displaystyle \ varphi}$ prawda pociąga za sobą ${\ Displaystyle \ psi}$ ) jeśli ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {+} \ varphi \ Rightarrow {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {+} \ psi} dla dowolnej struktury M {\ Displaystyle$ { $mathcal {M}}}$ i każdy zespół ${\ displaystyle X}$ takie, że ${\ Displaystyle dom (X) \ supseteq {\ mbox {Wolny}} (\ varphi) \ puchar {\ mbox {Wolny}} (\ psi )}$ .

${\ Displaystyle \ varphi \ równoważnik ^ {+} \ psi}$ ( ${\ Displaystyle \ varphi}$ jest prawdą równoważną ψ $\ Displaystyle \ psi}$ ) jeśli ${\ Displaystyle \ varphi \ modele ^ {+} \ psi}$ i ${\ Displaystyle \ psi \ modele ^ {+} \ varphi}$ .

${\ Displaystyle \ varphi \ modele ^ {-} \ psi}$ ( ${\ Displaystyle \ varphi}$ fałsz pociąga za sobą ${\ Displaystyle \ psi}$ ) jeśli ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {-} \ psi \ Rightarrow {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {-} \ varphi} dla dowolnej struktury M {\ Displaystyle$ { $mathcal {M}}}$ i każdy zespół ${\ displaystyle X}$ takie, że ${\ Displaystyle dom (X) \ supseteq {\ mbox {Wolny}} (\ varphi) \ puchar {\ mbox {Wolny}} (\ psi )}$ .

${\ Displaystyle \ varphi \ równoważnik ^ {-} \ psi}$ ( ${\ Displaystyle \ varphi}$ jest fałszywością równoważną z ${\ Displaystyle \ psi}$ ) jeśli ${\ Displaystyle \ varphi \ modele ^ {-} \ psi}$ i ${\ Displaystyle \ psi \ modele ^ {-} \ varphi}$ .

${\ Displaystyle \ varphi \ modele \ psi}$$\ psi }$ { \ Displaystyle $varphi$$\$ modele i ${\ Displaystyle \ varphi \ modele ^ {-} \ psi}$ .

${\ Displaystyle \ varphi \ równoważnik \ psi}$ ( ${\ Displaystyle \ varphi}$ jest silnie równoważne ψ $\ Displaystyle \ psi}$ ) jeśli ${\ Displaystyle \ varphi \ równoważny ^ {+} \ psi}$ i ${\ Displaystyle \ varphi \ równoważnik ^ {-} \ psi}$ .

Równoważność zdań

Powyższe definicje specjalizują się w zdaniach IF w następujący sposób. Dwa zdania JEŻELI są prawdziwe , jeśli są prawdziwe w tych samych strukturach; ${\ displaystyle \ varphi, \ psi}$ są fałszywie równoważne, jeśli są fałszywe w tych samych strukturach; są one silnie równoważne, jeśli są zarówno prawdziwością, jak i fałszem.

Intuicyjnie użycie silnej równoważności sprowadza się do traktowania logiki JEŻELI jako 3-wartościowej (prawdziwa/nieokreślona/fałsz), podczas gdy równoważność prawdziwości traktuje zdania JEŻELI tak, jakby były 2-wartościowe (prawdziwe/nieprawdziwe).

Równoważność względem kontekstu

Wiele reguł logicznych logiki JEŻELI można adekwatnie wyrazić jedynie w kategoriach bardziej ograniczonych pojęć równoważności, które uwzględniają kontekst, w jakim formuła może się pojawić.

Na przykład, jeśli jest skończonym zbiorem zmiennych i $\ mbox {Wolny$$} (\ varphi) \ kubek {\ mbox {Swobodny}} (\ psi )}$ , można stwierdzić, że prawdą równoważną względem ${\ displaystyle \ varphi$$}$ w stosunku do ${\ displaystyle U}$ ( ${\ Displaystyle \ varphi \ równoważnik _ {U} \ psi}$ ) w przypadku $Leftrightarrow {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {+} \ varphi}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {+} \ psi$$U}$ dla dowolnej struktury $dowolnego$ zespołu domeny $X}$${\ displaystyle$ .

Właściwości teorii modeli

Poziom zdania

Zdania JEŻELI można przetłumaczyć w sposób zachowujący prawdę na zdania (funkcjonalnej) egzystencjalnej logiki drugiego rzędu $za$ ) pomocą procedury Skolemizacji ( ). I odwrotnie, każdy $zdanie$ JEŻELI za pomocą wariantu procedury translacji Walkoe-Endertona dla kwantyfikatorów częściowo uporządkowanych ). Innymi słowy, logika JEŻELI i ${\ Displaystyle \ Sigma _ {1} ^ {1}}$ są ekspresyjnie równoważne na poziomie zdań. Tę równoważność można wykorzystać do udowodnienia wielu następujących właściwości; są dziedziczone z $iw$ wielu przypadkach podobne do

Oznaczamy przez $nieskończony$ ) zestaw zdań JEŻELI.

• Właściwość Löwenheim-Skolem: jeśli ma $model$ lub dowolnie duże modele skończone, to ma modele o każdej nieskończonej liczności.
• Egzystencjalna zwartość: jeśli każdy skończony ma model, to także ma model. $T_ {0} \ subseteq T}$$displaystyle$
• Awaria dedukcyjnej zwartości: istnieją takie, że ${\ Displaystyle T$$\ modele \ varphi}$$}$ ale ${\ Displaystyle T_ {0} \ nie \ modele$ dla dowolnego skończonego ${\ Displaystyle T_ {0} \ podzbiór T}$ . Jest to różnica w stosunku do FOL.
• Twierdzenie o separacji: jeśli są wzajemnie niespójnymi zdaniami IF $, to$ zdanie FOL takie, że $Displaystyle$$+} \ theta}$$\ varphi \$ i ${\ Displaystyle \ psi \ modele ^ {+} \ lnot \ theta}$ . Jest to konsekwencja twierdzenia Craiga o interpolacji dla FOL.
• Twierdzenie Burgessa: jeśli są zdaniami $^$${+} \ teta}$ , to istnieje zdanie JEŻELI takie, że $Displaystyle$$\ varphi \$ i ${\ Displaystyle \ psi \ równoważnik ^ {+} \ lnot \ teta}$ (z wyjątkiem ewentualnie struktur jednoelementowych). W szczególności twierdzenie to ujawnia, że ​​negacja logiki JEŻELI nie jest operacją semantyczną ze względu na równoważność prawdziwości (zdania równoważne prawdzie mogą mieć nierównoważne negacje).
• Definiowalność prawdy: istnieje zdanie JEŻELI $) {\ Displaystyle$$varphi$ Arithmetic, takie, że dla każdego zdania JEŚLI T R U do ${\ Displaystyle \ mathbb {N} \ modele \ varphi \ Strzałka w lewo \ mathbb {N} \ modele PRAWDA (\ ulcorner \ varphi \ urcorner)} ($ gdzie ${\ Displaystyle \ ulcorner \ urcorner}$ oznacza numerację Gödla). Słabsze stwierdzenie dotyczy również niestandardowych modeli Peano Arithmetic ().

Poziom formuły

Pojęcie spełnialności przez zespół ma następujące własności:

• Zamknięcie w dół: jeśli ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {\ pm} \ varphi}$ i ${\ Displaystyle Y \ subseteq X}$ , to ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}, Y \ modele ^ {\ pm} \ varphi}$ .
• Spójność: ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {+} \ varphi}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}, X \ modele ^ {-} \ varphi}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle X = \ pusty zbiór}$ .
• Nielokalność: istnieją $Displaystyle$$,$ że .

Ponieważ formuły JEŻELI są spełniane przez zespoły, a formuły logiki klasycznej są spełniane przez przypisania, nie ma oczywistej wzajemnej translacji między formułami JEŻELI a formułami jakiegoś klasycznego systemu logicznego. Istnieje jednak procedura tłumaczenia formuł JEŻELI na $Displaystyle \ tau _ {U, R}}$ relacyjne ( $w$ jedno odrębne tłumaczenie R dla każdego skończonego ${\ Displaystyle U \ supseteq {\ mbox {Free}} (\ varphi)}$ i dla każdego wyboru symbolu predykatu $re$ arity ${\ Displaystyle card (U)$ ) . W tego rodzaju tłumaczeniu dodatkowy n-arny symbol predykatu $do$$używany$ reprezentowania zespołu n- . Jest to motywowane faktem, że po zamówieniu ${\ Displaystyle v_ {1} \ kropki v_ {n}}$ re $(X)}$ został naprawiony, możliwe jest powiązanie relacji ${\ Displaystyle Rel_ {v_ {1} \ kropki v_ {n}} (X) = \ {(s (v_ {1}), \ kropki, s (v_ {n})} | s \ w X \}}$ do zespołu ${\ displaystyle X}$ . Przy tych konwencjach formuła JEŻELI jest powiązana z jej translacją w następujący sposób:

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}, X \ modele \ varphi \Leftrightarrow ({\mathcal {M}},Rel_{v_{1}\kropki v_{n}}(X))\modele \tau _{dom(X),R}(\varphi)}$

gdzie $\ Displaystyle (M, Rel_ {v_ {1} \ kropki v_ {n}} (X))}$ jest rozwinięciem ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$ , który przypisuje jako interpretację predykatu ${\ Displaystyle Rel_ {v_ {1} \ kropki v_ {n}} (X$$}$ .

Dzięki tej korelacji można powiedzieć, że na strukturze $\ displaystyle$ JEŻELI n zmiennych wolnych definiuje rodzinę n-arnych relacji na ${\ mathcal {M}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$ (rodzina relacji $\ Displaystyle Rel_ {v_ {1} \ kropki v_ {n}} (X)}$ takie że ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}, X \ modele \ varphi}$ ).

W 2009 roku Kontinen i Väänänen wykazali za pomocą częściowej procedury translacji odwrotnej, że rodziny relacji, które można zdefiniować za pomocą logiki JEŻELI, to dokładnie te, które są niepuste, zamknięte w dół i definiowalne w relacji Σ 1 1 { $Sigma _ {1} ^ {1}}$ z dodatkowym predykatem (lub równoważnie, niepustym i definiowalnym przez zdanie $,$ w którym ${\ displaystyle R}$$Displaystyle \ Sigma _ {1} ^ {1}}$ występuje tylko negatywnie).

Rozszerzona logika JEŻELI

Logika JEŻELI nie jest zamknięta w klasycznej negacji. Logiczne zamknięcie logiki IF jest znane jako $.$ logika IF jest równoważne właściwemu fragmentowi (Figueira i in. 2011 Hintikka (1996, s. 196) stwierdził, że „praktycznie cała matematyka klasyczna może być w zasadzie wykonana w rozszerzonej logice IF pierwszego rzędu”.

Właściwości i krytyka

Szereg właściwości logiki JEŻELI wynika z równoważności logicznej z $,$ i zbliża ją do pierwszego rzędu w tym twierdzenia o zwartości twierdzenia Löwenheima – Skolema i twierdzenie Craiga o interpolacji . (Väänänen, 2007, s. 86). Jednak Väänänen (2001) udowodnił, że zbiór liczb Gödla poprawnych zdań logiki IF z co najmniej jednym binarnym symbolem predykatu (zbiór oznaczony przez Val _IF ) jest rekurencyjnie izomorficzny z odpowiednim zbiorem liczb Gödla ważnych (pełnych) zdań drugiego rzędu w słowniku, który zawiera jeden binarny symbol predykatu (zbiór oznaczony przez Val ² ). Ponadto Väänänen wykazał, że Val ² jest kompletnym Π ₂ -definiowalnym zbiorem liczb całkowitych i że nie jest to Val ² dla dowolnego skończonego m i n $}}$ m . Väänänen (2007, s. 136–139) podsumowuje wyniki złożoności w następujący sposób:

Problem	logika pierwszego rzędu	Logika JEŻELI/zależność/ESO
Decyzja	${\ Displaystyle \ Sigma _ {1} ^ {0}}$ ( re )	${\ Displaystyle \ Pi _ {2}}$
Nieważność _	${\ Displaystyle \ Pi _ {1} ^ {0}}$ ( rdzeń ponownie )	${\ Displaystyle \ Sigma _ {2}}$
Konsystencja	${\ Displaystyle \ Pi _ {1} ^ {0}}$	${\ Displaystyle \ Pi _ {1} ^ {0}}$
Niezgodność	${\ Displaystyle \ Sigma _ {1} ^ {0}}$	${\ Displaystyle \ Sigma _ {1} ^ {0}}$

Feferman (2006) cytuje wynik Väänänena z 2001 r., aby argumentować (w przeciwieństwie do Hintikki), że podczas gdy spełnialność może być sprawą pierwszego rzędu, pytanie, czy istnieje zwycięska strategia dla Weryfikatora nad wszystkimi strukturami w ogólności „wprowadza nas w pełną logikę drugiego rzędu " (podkreślenie Fefermana). Feferman zaatakował $również rzekomą użyteczność rozszerzonej$ JEŻELI, ponieważ zdania w nie dopuszczają interpretacji opartej na teorii

Zobacz też

• Semantyka gry
• Kwantyfikatory rozgałęziające
• Logika zależności

Notatki

• Burgess, John P., „ Uwaga na temat zdań Henkina i ich sprzeczności ”, Notre Dame Journal of Formal Logic 44 (3): 185-188 (2003).
• Cameron, Peter i Hodges, Wilfrid (2001), „ Niektóre kombinatoryki niedoskonałych informacji ”. Dziennik logiki symbolicznej 66: 673-684.
• Eklund, Matti i Kolak, Daniel, „ Czy logika Hintikki jest na pierwszym miejscu? ” Synthese , 131(3): 371-388 czerwiec 2002, [1] .
• Enderton, Herbert B., „ Skończone kwantyfikatory częściowo uporządkowane ”, Mathematical Logic Quarterly, tom 16, wydanie 8, 1970, strony 393–397.
• Feferman, Solomon , „Jakim rodzajem logiki jest logika „niezależności przyjazna”?”, w The Philosophy of Jaakko Hintikka (Randall E. Auxier i Lewis Edwin Hahn, red.); Biblioteka żyjących filozofów, tom. 30, Open Court (2006), 453-469, http://math.stanford.edu/~feferman/papers/hintikka_iia.pdf .
•   Figueira, Santiago, Gorín, Daniel i Grimson, Rafael „On the Expressive Power of IF-Logic with Classical Negation”, postępowanie WoLLIC 2011, s. 135-145, ISBN 978-3-642-20919-2 , [ 2 ] .
•   Hintikka, Jaakko (1996), „Zrewidowane zasady matematyki”, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-62498-5 .
• Hintikka, Jaakko, „Logika hiperklasyczna (aka logika IF) i jej implikacje dla teorii logicznej”, Bulletin of Symbolic Logic 8, 2002, 404-423 http://www.math.ucla.edu/~asl/bsl/0803/0803 -004.ps .
• Hintikka, Jaakko i Sandu, Gabriel (1989), „Niezależność informacyjna jako zjawisko semantyczne”, w: Logic, Methodology and Philosophy of Science VIII (JE Fenstad i in., Red.), North-Holland, Amsterdam, doi : 10.1016 /S0049-237X(08)70066-1 .
• Hintikka, Jaakko i Sandu, Gabriel, „ Semantyka teorii gier ”, w: Podręcznik logiki i języka , wyd. J. van Benthem i A. ter Meulen , Elsevier 1996 (wyd. 1) Zaktualizowano w drugim wydaniu książki (2011).
• Hodges, Wilfrid (1997), „ Semantyka kompozycyjna dla języka niedoskonałych informacji ”. Dziennik IGPL 5: 539–563.
• Hodges, Wilfrid, „Some Strange Quantifiers”, w Lecture Notes in Computer Science 1261: 51-65, styczeń 1997.
• Janssen, Theo MV, „Niezależne wybory i interpretacja logiki JEŻELI”. Journal of Logic, Language and Information , tom 11, wydanie 3, lato 2002, s. 367-387 doi : 10.1023/A:1015542413718 [3] .
•   Kolak, Daniel, On Hintikka , Belmont: Wadsworth 2001 ISBN 0-534-58389-X .
•   Kolak, Daniel i Symons, John, „Wyniki są w: zakresie i znaczeniu filozofii Hintikki” w Daniel Kolak i John Symons , red., Kwantyfikatory, pytania i fizyka kwantowa. Essays on the Philosophy of Jaakko Hintikka , Springer 2004, s. 205-268 ISBN 1-4020-3210-2 , doi : 10.1007/978-1-4020-32110-0_11 .
• Kontinen, Juha i Väänänen, Jouko, „O definiowalności w logice zależności” (2009), Journal of Logic, Language and Information 18 (3), 317-332.
•   Mann, Allen L., Sandu, Gabriel i Sevenster, Merlijn (2011) Logika przyjazna niezależności. Podejście do teorii gier , Cambridge University Press, ISBN 0521149347 .
• Sandu, Gabriel, „ If-Logic and Truth-definition ”, Journal of Philosophical Logic, kwiecień 1998, tom 27, wydanie 2, s. 143–164.
• Sandu, Gabriel, „ O logice niezależności informacyjnej i jej zastosowaniach ”, Journal of Philosophical Logic, tom. 22, nr 1 (luty 1993), s. 29-60.
•   Väänänen, Jouko , 2007, „Logika zależności — nowe podejście do logiki przyjaznej niezależności”, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-87659-9 , [4] .
• Walkoe, Wilbur John Jr., „ Skończona częściowo uporządkowana kwantyfikacja ”, The Journal of Symbolic Logic, tom. 35, nr 4 (grudzień 1970), s. 535-555.

Linki zewnętrzne

• Tulenheimo, Tero. „Logika przyjazna niepodległości” . W Zalta, Edward N. (red.). Stanford Encyklopedia filozofii .
• Hodges, Wilfrid. „Logika i gry” . W Zalta, Edward N. (red.). Stanford Encyklopedia filozofii .
• Logika JEŻELI na planecie Math