Lokalnie skończona różnorodność
W algebrze uniwersalnej rozmaitość algebr oznacza klasę wszystkich struktur algebraicznych o danej sygnaturze spełniających dany zbiór tożsamości. Rozmaitość nazywamy lokalnie skończoną , jeśli każda skończenie generowana algebra ma skończoną liczność lub równoważnie, jeśli każda skończenie generowana algebra swobodna ma skończoną liczność.
Znanym przykładem jest różnorodność algebr Boole'a . Swobodna algebra Boole'a na n generatorach ma liczność 2 2 n , składającą się z n -argumentowych operacji 2 n →2.
Różnorodność zbiorów stanowi zdegenerowany przykład: zbiór swobodny na n generatorach ma liczność n , składającą się tylko z samych generatorów.
Różnorodność zbiorów punktowych stanowi trywialny przykład: zbiór swobodny punktowy na n generatorach ma liczność n +1, składającą się z generatorów wraz z punktem bazowym.
Różnorodność grafów zdefiniowanych w następujący sposób stanowi kombinatoryczny przykład. Zdefiniuj graf G = ( E , s , t ) jako zbiór E krawędzi i operacji jednoargumentowych s , t źródła i celu spełniających s ( s ( e )) = t ( s ( e )) i s ( t ( mi )) = t ( t ( mi )). Wierzchołki to te krawędzie w (powszechnym) obrazie s i t . Graf swobodny na n generatorach ma liczność 3 n i składa się z n krawędzi e, z których każda ma dwa punkty końcowe s ( e ) i t ( e ). Grafy z nietrywialnymi relacjami incydencji powstają jako ilorazy swobodnych grafów, najbardziej przydatne poprzez identyfikację wierzchołków.
Różnorodność zestawów i różnorodność tak zdefiniowanych grafów tworzy kategorię presnopa , a tym samym topos . Inaczej jest w przypadku różnych algebr Boole'a lub zbiorów spiczastych.