Magiczna liczba (sport)

W niektórych sportach liczba magiczna to liczba używana do wskazania, jak blisko przodująca drużyna jest do zdobycia tytułu mistrzowskiego i/lub miejsca w play-offach. Reprezentuje sumę dodatkowych zwycięstw zespołu prowadzącego lub dodatkowych porażek (lub dowolnej ich kombinacji) rywalizujących drużyn, po których jest matematycznie niemożliwe, aby rywalizujące drużyny zdobyły tytuł w pozostałej liczbie meczów (zakładając niektóre wysoce nie wystąpi mało prawdopodobne zdarzenie, takie jak dyskwalifikacja lub wykluczenie z zawodów lub przepadek gier z mocą wsteczną). Magiczne liczby są generalnie ograniczone do sportów, w których każda gra kończy się wygraną lub przegraną, ale nie krawat . Można to również nazwać „liczbą zaciskania” .

Drużyny inne niż drużyna prowadząca mają tak zwany numer eliminacji (lub „liczbę tragiczną” ) (często w skrócie E# ). Liczba ta reprezentuje liczbę zwycięstw drużyny prowadzącej lub porażek drużyny przegrywającej, które eliminują drużynę przegrywającą. Największa liczba eliminacji wśród drużyn, które nie zajęły pierwszego miejsca, to magiczna liczba dla drużyny prowadzącej.

Magiczna liczba jest obliczana jako G + 1 − W _A − L _B , gdzie

G to całkowita liczba meczów w sezonie
W _A to liczba zwycięstw Drużyny A w sezonie
L _B to liczba porażek Drużyny B w sezonie

Na przykład w Major League Baseball są 162 mecze w sezonie. Załóżmy, że szczyt tabeli dywizji pod koniec sezonu przedstawia się następująco:

Zespół	Zwycięstwa	Straty
A	96	58
B	93	62

Wtedy magiczna liczba dla Drużyny B do wyeliminowania to 162 + 1 - 96 - 62 = 5.

Jakakolwiek kombinacja zwycięstw Drużyny A i porażek Drużyny B wynosząca łącznie 5 uniemożliwia Drużynie B zdobycie tytułu mistrzowskiego.

„+1” we wzorze służy eliminacji więzi; bez niego, gdyby magiczna liczba spadła do zera i tam pozostała, obie drużyny miałyby identyczne rekordy. Jeśli okoliczności wskazują, że drużyna prowadząca z przodu wygra dogrywkę niezależnie od przyszłych wyników, wówczas dodatkową stałą 1 można wyeliminować. Na przykład NBA używa skomplikowanych formuł do zrywania remisów, wykorzystując kilka innych statystyk zasług oprócz ogólnego rekordu wygranych i przegranych; jednak pierwszy remis między dwoma zespołami to ich rekord w pojedynkach; jeśli drużyna prowadząca uzyskała już lepszy rekord w bezpośrednich pojedynkach, to +1 jest niepotrzebne. W 2022 roku Major League Baseball wprowadziła scenariusze rozstrzygania remisów (takie jak bezpośrednie pojedynki w przypadku remisów w dywizji), w których użycie „+1” było bezcelowe (ponieważ mecz 163 został wyeliminowany).

Magiczną liczbę można również obliczyć jako W _B + GR _B - W _A + 1, gdzie

W _B to liczba zwycięstw Drużyny B w sezonie
GR _B to liczba meczów pozostałych dla Drużyny B w sezonie
W _A to liczba zwycięstw Drużyny A w sezonie

Ta druga formuła zasadniczo mówi: Załóżmy, że Drużyna B wygrywa każdą pozostałą grę. Oblicz, ile meczów musi wygrać drużyna A, aby przewyższyć maksymalną sumę drużyny B o 1 . Korzystając z powyższego przykładu i przy takim samym sezonie 162 meczów, drużynie B pozostało 7 meczów.

Magiczna liczba dla Drużyny A, która wygra dywizję, to nadal „5”: 93 + 7 - 96 + 1 = 5.

Drużyna B może wygrać aż 100 gier. Jeśli Drużyna A wygra 101, Drużyna B odpada. Magiczna liczba zmniejszyłaby się wraz ze zwycięstwem Drużyny A, a także zmniejszyłaby się wraz z przegraną Drużyny B, ponieważ maksymalna suma wygranych zmniejszyłaby się o jeden.

Odmiana powyższego dotyczy relacji między stratami obu drużyn. Liczbę magiczną można obliczyć jako L _A + GR _A - L _B + 1, gdzie

L _A to liczba porażek Drużyny A w sezonie
GR _A to liczba meczów pozostałych dla Drużyny A w sezonie
L _B to liczba porażek Drużyny B w sezonie

Ta trzecia formuła zasadniczo mówi: Załóżmy, że Drużyna A przegrywa każdą pozostałą grę. Oblicz, ile meczów drużyna B musi przegrać, aby przewyższyć maksymalną sumę drużyny A o 1 . Korzystając z powyższego przykładu i przy takim samym sezonie 162 meczów, drużynie A pozostało 8 meczów.

Magiczna liczba pozwalająca Drużynie A wygrać dywizję to nadal „5”: 58 + 8 − 62 + 1 = 5. Jak widać, magiczna liczba jest taka sama, niezależnie od tego, czy oblicza się ją na podstawie potencjalnych wygranych lidera, czy potencjalnych porażek zespołu śledzącego. Rzeczywiście, matematyczne dowody pokażą, że trzy przedstawione tutaj wzory są matematycznie równoważne.

Drużyna A może przegrać aż 66 meczów. Jeśli Drużyna B przegra 67, Drużyna B odpada. Po raz kolejny magiczna liczba zmniejszyłaby się wraz ze zwycięstwem Drużyny A, a także zmniejszyłaby się wraz z przegraną Drużyny B.

W niektórych dyscyplinach sportowych remisy są rozwiązywane przez dodatkowy mecz barażowy między zaangażowanymi drużynami. Kiedy drużyna dochodzi do punktu, w którym jej magiczna liczba wynosi 1, mówi się, że „zremisowała” w dywizji lub dzikiej karcie. Jeśli jednak zakończą sezon zremisowany z inną drużyną i tylko jedna kwalifikuje się do playoffów, dodatkowy mecz play-off usunie to „zaciskanie” drużyny, która przegrywa mecz play-off.

W niektórych sportach stosuje się formułę rozstrzygania dogrywek zamiast organizowania dogrywki w jednym meczu. W takich przypadkach konieczne jest spojrzenie poza rekordy wygranych i przegranych drużyn, aby określić magiczną liczbę, ponieważ drużyna, która już zagwarantowała sobie przewagę w formule dogrywki, nie musiałaby uwzględniać „+1” w obliczaniu swojej magiczny numer. Załóżmy na przykład, że liga koszykówki, która rozgrywa sezon 82 meczów bez dogrywek w jednym meczu, pokazuje tabelę dywizji pod koniec sezonu w następujący sposób:

Zespół	Zwycięstwa	Straty
A	60	15
B	55	20

Załóżmy dalej, że pierwszym krokiem w formule rozstrzygania remisów w lidze są bezpośrednie spotkania. Drużyna A i Drużyna B spotkały się cztery razy w ciągu sezonu, a Drużyna A wygrała trzy z czterech meczów. Nie planują ponownego spotkania w sezonie zasadniczym. Dlatego Drużyna A ma przewagę w dogrywce nad Drużyną B i musi tylko zakończyć z taką samą liczbą zwycięstw jak Drużyna B, aby zająć miejsce przed Drużyną B w tabeli. Dlatego możemy obliczyć magiczną liczbę Drużyny A jako 82 – 60 – 20 = 2. Jeśli Drużyna A wygra dwa z siedmiu pozostałych meczów, zakończy z wynikiem 62–20. Jeśli Drużyna B wygra wszystkie siedem pozostałych meczów, również zakończy 62-20. Ponieważ jednak Drużyna B przegrywa dogrywkę w pojedynkach, Drużyna A jest zwycięzcą dywizji.

Zgodnie z konwencją magiczna liczba jest zwykle używana do opisania tylko drużyny, która zajęła pierwsze miejsce, w stosunku do drużyn, które prowadzi. Jednak te same formuły matematyczne można zastosować do dowolnej drużyny, drużyn, które remisują w prowadzeniu, a także drużyn, które przegrywają. W takich przypadkach zespół, który nie jest na pierwszym miejscu, będzie zależny od zespołu prowadzącego, który przegra kilka meczów, aby mógł go dogonić, więc magiczna liczba będzie większa niż liczba pozostałych meczów. Ostatecznie w przypadku drużyn, które już nie rywalizują, ich magiczna liczba byłaby większa niż ich pozostałe gry + pozostałe gry dla drużyny zajmującej pierwsze miejsce — co byłoby niemożliwe do pokonania.

Pochodzenie

Wzór na magiczną liczbę wyprowadza się w prosty sposób w następujący sposób. Tak jak poprzednio, w pewnym momencie sezonu niech Drużyna A odniesie W _A i _przegrane LA . Załóżmy, że w późniejszym czasie Drużyna A ma w _A dodatkowych zwycięstw i l _A dodatkowych porażek, i zdefiniuj podobnie W _B , L _B , w _B , l _B dla Drużyny B. Całkowita liczba zwycięstw, które Drużyna B musi odrobić jest więc podane przez ( W _A + w _ZA ) - ( W _b + w _b ). Drużyna A wygrywa, gdy liczba ta przekracza liczbę pozostałych meczów Drużynie B, ponieważ w tym momencie Drużyna B nie może odrobić straty, nawet jeśli Drużyna A nie wygra więcej meczów. Jeśli w sezonie jest łącznie G meczów, to liczba meczów pozostałych dla Drużyny B jest dana przez G − ( W _B + w _B + L _B + l _B ). Tak więc warunkiem dla Drużyny A do klinczu jest to, że ( W _ZA + w _ZA ) - ( W _b + w _b ) = 1 + sol - ( W _b + w _b + L _b + l _b ). Anulując wspólne terminy, otrzymujemy w _A + l _B = G + 1 − W _A − L _B , co ustanawia formułę liczby magicznej.

Dziwaczne gry

W poniższym przykładzie magiczna liczba Drużyny A wynosi 5, ponieważ chociaż może ona wyeliminować Drużynę B zajmującą drugie miejsce w 4 dodatkowych grach, potrzeba by 5 gier, aby z pewnością wyeliminować Drużynę C zajmującą trzecie miejsce. Obliczenie magicznej liczby wymaga użycia najniższej liczba porażek wśród innych rywalizujących drużyn: 162 + 1 − 88 − 70 = 5.

Zespół	Zwycięstwa	Straty	proc	GB	MI#
A	88	56	0,611	--	--
B	75	71	0,514	14.0	4
C	73	70	0,510	14,5	5

Dziwactwo tie-breaka

Inny scenariusz, w którym magiczna liczba może różnić się od matematycznego obliczenia liczby, może wystąpić w przypadku scenariusza rozstrzygającego. Większość sportów ma wiele metod rozstrzygania remisów, które pozwalają radzić sobie z ewentualnością remisu rekordów na koniec sezonu. Zazwyczaj pierwsza z tych metod polega na bezpośrednich pojedynkach drużyn i ustalaniu, która drużyna wygrała więcej meczów z drugą w trakcie sezonu.

W poniższym przykładzie drużyny A i B mają do rozegrania 12 meczów, a wzór matematyczny podyktowałby magiczną liczbę 6 dla drużyny A. 162+1-83-74=6.

Jednakże, jeśli Drużyna A wygra tylko 5 pozostałych meczów i zakończy sezon z wynikiem 88-74, a Drużyna B wygra wszystkie pozostałe mecze i zakończy sezon remisem, Drużyna A zdobędzie tytuł dywizji, jeśli będzie miała rekord zwycięstw nad Drużyną B w trakcie sezonu, co oznaczałoby, że w poniższym przykładzie Drużyna A faktycznie ma magiczną liczbę 5.

Zespół	Zwycięstwa	Straty	proc	GB
A	83	67	0,553	--
B	76	74	.507	7.0

Subtelność

Czasami może się wydawać, że drużyna ma matematyczną szansę na wygraną, mimo że została już wyeliminowana z powodu planowania. W tym scenariuszu Major League Baseball do końca sezonu pozostały trzy mecze. Zakłada się, że drużyny A, B i C kwalifikują się tylko do mistrzostw dywizji; drużyny z lepszymi wynikami w innych dywizjach zajęły już trzy dostępne miejsca z „dziką kartą”:

Zespół	Zwycięstwa	Straty
A	87	72
B	87	72
C	85	74

Gdyby Drużyna C wygrała wszystkie trzy pozostałe mecze, zakończyłaby z wynikiem 88-74, a gdyby obie Drużyny A i B przegrały swoje trzy pozostałe mecze, zakończyłyby z wynikiem 87-75, co uczyniłoby Drużynę C zwycięzcą dywizji . Jeśli jednak drużyny A i B grają przeciwko sobie w ostatni weekend (w serii składającej się z 3 meczów), obie drużyny nie mogą przegrać trzech pozostałych meczów. Jeden z nich wygra co najmniej dwa mecze i tym samym zdobędzie tytuł w dywizji z rekordem 90–72 lub 89–73. Bardziej bezpośrednią konsekwencją tej sytuacji jest to, że drużyny A i B nie mogą zakończyć meczu remisem, a drużyna C nie może wygrać dywizji.

Można jednoznacznie stwierdzić, czy zespół został wyeliminowany za pomocą algorytmu problemu maksymalnego przepływu .

Dodanie drugiej drużyny z dziką kartą sprawia, że odwrotny scenariusz (w którym drużyna faktycznie zdobyła miejsce postseason, mimo że wydaje się, że nadal może zostać wyeliminowany) jest możliwy w baseballu. W tym scenariuszu dla dzikiej karty:

Zespół	Zwycięstwa	Straty
A	89	70
B	87	72
C	87	72

Jeśli Drużyny B i C rozgrywają swoje ostatnie trzy mecze przeciwko sobie, a wszystkie pozostałe drużyny zajęły swoje miejsca w dywizji lub zostały matematycznie wyeliminowane z dogonienia Drużyny A, wówczas Drużyna A zdobędzie co najmniej drugie miejsce z Dziką Kartą, ponieważ nie będzie możliwe Drużyny B i C wygrają wystarczającą liczbę meczów, aby dogonić Drużynę A.

Scenariusz odwrotny jest bardziej powszechny w sportach, które mają więcej miejsc do cumowania po sezonie, z korzyścią dla drużyn, które są na końcowych pozycjach w fazie play-off, ale są ścigane przez drużyny, które wciąż muszą ze sobą grać. Czasami oba scenariusze mogą wystąpić jednocześnie. W następującym National Basketball Association dla drużyn, które zajęły miejsca od siódmego do dziesiątego w tabeli konferencji:

Zespół	Zwycięstwa	Straty
A	42	38
B	41	39
C	41	39
D	40	40

Jeżeli Drużyny B i C muszą rozegrać jeden z ostatnich dwóch meczów przeciwko sobie, a Drużyna A doprowadzi do remisu z Drużynami B, C i D, to Drużyna A zapewni sobie miejsce w fazie play-off, ponieważ nie może zostać wyprzedzona przez obie Drużyny B i C. Ponadto, jeśli Drużyna D nie przeprowadzi dogrywki z żadną z Drużyn A, B i C, wypadnie z rywalizacji play-off, ponieważ nie może wyprzedzić obu Drużyn B i C.

Podobny scenariusz zdarza się czasami w europejskich ligach piłkarskich i innych rozgrywkach, w których stosuje się awanse i spadki . W tym scenariuszu dla 20-drużynowej ligi piłkarskiej, która gra w każdy z każdym , przyznaje trzy punkty za zwycięstwo i jeden za remis, a drużyny z miejsc 18., 19. i 20. spadają:

Pozycja	Zespół	Grał	Zwrotnica
16	A	36	38
17	B	36	34
18	C	36	32
19	D	36	28

Jeśli Drużyna A przegra dwa ostatnie mecze, zakończy z 38 punktami, a jeśli Drużyna D wygra dwa ostatnie mecze, zakończy z wynikiem 34. Niemniej jednak, niezależnie od różnicy bramek lub innego dogrywki, jeśli Drużyny B i C nadal muszą grają ze sobą, wtedy Drużyna A jest bezpieczna przed spadkiem, ponieważ Drużyny B i C nie mogą zdobyć jednocześnie 38 punktów, podczas gdy Drużyna D zostanie zdegradowana, ponieważ Drużyny B i C nie mogą skończyć z mniej niż 35 punktami.

Alternatywna metoda

Do określenia liczby eliminacji można zastosować inną metodę, która wykorzystuje tylko statystyki pozostałych gier ( ${\ displaystyle GR_ {L}, GR_ {T}}$ ) i Games Behind Leader (GBL) w następujący sposób: ${\ Displaystyle E = {\ Frac {GR_ {L} + GR_ {T}} {2}} -GBL + 1}$ , gdzie $GR_ {L}$ $)$ (podobnie gry pozostałe dla zwiastuna

Wróć do przykładu przedstawionego powyżej. Liczba eliminacji dla Drużyny B to ponownie „5”: ${\ Displaystyle E = {\ Frac {8 + 7} {2}} -3,5 + 1}$ .

Stosowanie tej metody jest konieczne w przypadku, gdy drużyny rozgrywają różną liczbę meczów w całym sezonie, np. z powodu odwołań lub remisów, które nie zostaną rozegrane ponownie. Zauważ, że ten algorytm jest również ograniczony przez wyżej wymienione subtelności.

Zobacz też

Linki zewnętrzne

Porównanie kilku równoważnych formuł
RIOT podejście do badań operacyjnych zastosowane w Major League Baseball