Maksymalne loterie

Maksymalne loterie odnoszą się do probabilistycznego systemu głosowania , który został po raz pierwszy rozważony przez francuskiego matematyka i naukowca społecznego Germaina Krewerasa w 1965 roku. Metoda ta wykorzystuje preferencyjne karty do głosowania i zwraca tak zwane loterie maksymalne, tj. dystrybucja. Loterie maksymalne spełniają kryterium Condorceta , kryterium Smitha , odwróconą symetrię , wielomianowy czas działania i probabilistyczne wersje wzmocnienia , uczestnictwo i niezależność klonów .

Loterie maksymalne są równoważne mieszanym strategiom maximin (lub równowadze Nasha ) symetrycznej gry o sumie zerowej określonej przez marginesy większości par. Jako takie mają naturalną interpretację w kategoriach rywalizacji wyborczej między dwiema partiami politycznymi. Ponadto można je obliczyć za pomocą programowania liniowego . System głosowania, który zwraca wszystkie maksymalne loterie, jest aksjomatycznie scharakteryzowany jako jedyny spełniający probabilistyczne wersje spójności populacji (osłabienie wzmocnienia) i spójności składu (wzmocnienie niezależności klonów). A funkcja opieki społecznej , która zajmuje pierwsze miejsce w loteriach maksymalnych, jest scharakteryzowana za pomocą niezależności Arrowa od nieistotnych alternatyw i wydajności Pareto . Maksymalne loterie spełniają silne pojęcie efektywności Pareto i słabe pojęcie strategicznej odporności . W przeciwieństwie do przypadkowej dyktatury , maksymalne loterie nie spełniają standardowego pojęcia odporności na strategię. Również loterie maksymalne nie są monotoniczne w prawdopodobieństwach, tj. możliwe jest, że prawdopodobieństwo alternatywy zmniejsza się, gdy ta alternatywa jest uszeregowana. Jednak prawdopodobieństwo alternatywy pozostanie dodatnie.

Loterie maksymalne lub ich warianty były wielokrotnie odkrywane na nowo przez ekonomistów, matematyków, politologów, filozofów i informatyków. W szczególności szczegółowo zbadano wsparcie dla loterii maksymalnych, które są znane jako zestaw podstawowy lub zestaw dwustronny .

Podobne idee pojawiają się również w badaniu uczenia się przez wzmacnianie i biologii ewolucyjnej w celu wyjaśnienia wielości współistniejących gatunków.

Zbiorowe preferencje w stosunku do loterii

Dane wejściowe do tego systemu głosowania składają się z porządkowych preferencji agentów w stosunku do wyników (nie loterii w stosunku do alternatyw), ale relację na zbiorze loterii można skonstruować w następujący sposób: p {\ displaystyle p} $q$ { $displaystyle p} q}$ to loterie nad alternatywami, $\ succ q}$ oczekiwana wartość marginesu zwycięstwa wyniku wybranego z rozkładem w bezpośrednim głosowaniu przeciwko wynikowi ${\ Displaystyle p$ wybrany z rozkładem ${\ displaystyle q}$ jest dodatnie. Innymi słowy, $losowo$ wybrany wyborca ​​będzie wolał alternatywy pobrane z $próbki$ niż pobrane z ${\ displaystyle q}$ odwrotnie. Chociaż ta relacja niekoniecznie jest przechodnia, zawsze zawiera co najmniej jeden element maksymalny.

Możliwe, że istnieje kilka takich maksymalnych loterii, ale jednoznaczność można udowodnić w przypadku, gdy marginesy między dowolną parą alternatyw są zawsze liczbą nieparzystą. Dzieje się tak na przykład w przypadku nieparzystej liczby wyborców, z których wszyscy mają ścisłe preferencje w stosunku do alternatyw. Podążając za tym samym argumentem, jednolitość odnosi się do oryginalnego „zestawu ponadpartyjnego”, który jest zdefiniowany jako wsparcie maksymalnej loterii gry turniejowej.

Przykład

Załóżmy, że jest pięciu wyborców, którzy mają następujące preferencje w stosunku do trzech alternatyw:

• 2 wyborców: ${\ Displaystyle a \ succ b \ succ c}$
• 2 głosujących: ${\ Displaystyle b \ succ c \ succ a}$
• 1 głosujący: ${\ Displaystyle c \ succ a \ succ b}$

Preferencje wyborców w parach można przedstawić w następującej $macierzy$ skośno-symetrycznej , gdzie wpis dla wiersza kolumny $displaystyle$ oznacza liczbę wyborców, którzy wolą x $x}$$displaystyle y}$$\$ minus liczba wyborców, którzy wolą $displaystyle x}$ { .

$\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} {\ rozpocząć {macierz} i & a \ quad & b \ quad & c \ quad \\\ koniec {macierzy}} \ \{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}{\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&0&3\\1&-3&0\\\end{pmatrix}}\end {matryca}}}$

Tę macierz można interpretować jako grę o sumie zerowej i przyznaje ona unikalną ${\ Displaystyle p (a) = 3/5$ Nasha (lub $strategię$ minimax ) gdzie } ${\ Displaystyle p (b) = 1/5}$ , ${\ displaystyle p (c) = 1/5}$ . Z definicji jest to również unikalna maksymalna loteria powyższego profilu preferencji. Przykład został starannie dobrany, aby nie mieć zwycięzcy Condorceta . Wiele profili preferencji przyznaje zwycięzcę Condorcet, w którym to przypadku unikalna loteria maksymalna przypisze prawdopodobieństwo 1 zwycięzcy Condorcet.

Linki zewnętrzne

• Voting.ml (strona internetowa do obliczania maksymalnych loterii)
• Pnyx - Practical Preference Aggregation (narzędzie do głosowania, które między innymi oferuje maksymalne loterie)
• votation.ovh (francuska strona internetowa do obliczania maksymalnych loterii)