Metoda Riddera

W analizie numerycznej metoda Riddersa jest algorytmem znajdowania pierwiastków opartym na metodzie fałszywego położenia i zastosowaniu funkcji wykładniczej do sukcesywnego przybliżania pierwiastka funkcji ciągłej. ${\ displaystyle f (x)}$ . Metoda jest dziełem C. Riddersa.

Metoda Riddersa jest prostsza niż metoda Mullera czy metoda Brenta, ale ma podobną skuteczność. Poniższy wzór zbiega się kwadratowo, jeśli funkcja jest dobrze zachowana, co oznacza, że ​​liczba dodatkowych cyfr znaczących znalezionych na każdym kroku jest w przybliżeniu dwukrotnie większa; ale funkcję należy oceniać dwukrotnie dla każdego kroku, więc ogólny porządek zbieżności metody wynosi ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ . Jeśli funkcja nie jest dobrze zachowana, pierwiastek pozostaje w nawiasach, a długość odstępu w nawiasach jest co najmniej o połowę mniejsza w każdej iteracji, więc zbieżność jest gwarantowana.

metoda

$poszukiwanego$ dwie wartości zmiennej niezależnej $i$ , które znajdują się po pierwiastka, tj ${\ Displaystyle f (x_ {0}) f (x_ {2}) <0}$ , metoda rozpoczyna się od oceny funkcji w punkcie środkowym ${\ displaystyle x_ {1} = (x_ {0} + x_ {2}) /2}$ . Następnie znajdujemy unikalną funkcję wykładniczą $,$$}}$ funkcja ${\ displaystyle h (x) = f (x) e ^ {$ spełnia ${\ displaystyle h (x_ {1}) = (h (x_ {0}) + h (x_ {2})) / 2}$ . $W$ szczególności parametr określany przez

${\ Displaystyle e ^ {a (x_ {1} -x_ {0})} = {\ Frac {f (x_ {1}) - \ nazwa operatora {znak} [f (x_ {0})] {\ sqrt { f(x_{1})^{2}-f(x_{0})f(x_{2})}}}{f(x_{2})}}.}$

Następnie do punktów stosuje się metodę fałszywego położenia i ${\ Displaystyle (x_ {0}, h (x_ {0}))}$ i ${\ displaystyle (x_ {2}, h (x_ {2}))}$ , co prowadzi do nowej wartości pomiędzy $a$${\ displaystyle x_ {0}}$ x $2 }}$ ,

${\ displaystyle x_ {3}= x_{1}+(x_{1}-x_{0}){\frac {\nazwa operatora {znak} [f(x_{0})]f(x_{1})}{\sqrt {f(x_{ 1})^{2}-f(x_{0})f(x_{2})}}},}$

która zostanie użyta jako jedna z dwóch wartości w nawiasach w następnym kroku iteracji.

Przyjmuje się, że druga wartość nawiasu wynosi ${\ displaystyle x_ {1}}$ jeśli ${\ displaystyle f (x_ {1}) f (x_ {3}) <0}$ (dobrze wychowany przypadek) lub w inny sposób, którykolwiek z nich $displaystyle$${ \$ funkcji o przeciwnym znaku do $f (x_ { 3})}$ . Procedurę można zakończyć po uzyskaniu zadanej dokładności.