Metoda drugiego momentu

W matematyce metoda drugiego momentu jest techniką stosowaną w teorii prawdopodobieństwa i analizie w celu wykazania, że ​​zmienna losowa ma dodatnie prawdopodobieństwo, że będzie dodatnia. Mówiąc bardziej ogólnie, „metoda momentów” polega na ograniczeniu prawdopodobieństwa, że ​​zmienna losowa waha się daleko od swojej średniej, za pomocą jej momentów.

Metoda jest często ilościowa, ponieważ często można wywnioskować dolną granicę prawdopodobieństwa, że ​​zmienna losowa jest większa niż pewna stała razy jej wartość oczekiwana. Metoda polega na porównaniu drugiego momentu zmiennych losowych z kwadratem pierwszego momentu.

Metoda pierwszej chwili

Metoda pierwszego momentu jest prostym zastosowaniem nierówności Markowa dla zmiennych o wartościach całkowitych. Dla nieujemnej zmiennej losowej X o wartościach całkowitych możemy chcieć udowodnić, że X = 0 z dużym prawdopodobieństwem. Aby otrzymać górną granicę dla P( X > 0), a tym samym dolną granicę dla P( X = 0), najpierw zauważmy, że ponieważ X przyjmuje tylko wartości całkowite, P( X > 0) = P ( X ≥ 1) . Ponieważ X nie jest ujemne, możemy teraz zastosować Nierówność Markowa do uzyskania P( X ≥ 1) ≤ E[ X ]. Łącząc je mamy P( X > 0) ≤ E [ X ]; metoda pierwszego momentu polega po prostu na wykorzystaniu tej nierówności.

Metoda drugiego momentu

Z drugiej strony, bycie „dużym” E [ X ] nie oznacza bezpośrednio, że P ( X = 0) jest małe. Jednak często możemy wykorzystać drugi moment, aby wyciągnąć taki wniosek, korzystając z nierówności Cauchy'ego-Schwarza .

Twierdzenie : Jeśli X ≥ 0 jest zmienną losową o skończonej wariancji, to

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {P} (X> 0) \ geq {\ frac {(\ nazwa operatora {E} [X]) ^ {2}} {\ nazwa operatora {E} [X ^ {2}]}}. }$

Dowód : korzystając z nierówności Cauchy'ego-Schwarza mamy

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [X] = \ nazwa operatora {E} [X \, \ mathbf {1} _ {\ {X> 0 \}}] \ równoważnik \ nazwa operatora {E} [X ^ {2} ]^{1/2}\nazwa_operatora {P} (X>0)^{1/2}.}$

$_$ dla następnie ∎

Metodę można również zastosować do granic dystrybucji zmiennych losowych. Ponadto oszacowanie poprzedniego twierdzenia można udoskonalić za pomocą tak zwanej nierówności Paleya-Zygmunda . Załóżmy, że X _n jest ciągiem nieujemnych zmiennych losowych o wartościach rzeczywistych, które zbiegają się zgodnie z prawem do zmiennej losowej X . Jeśli istnieją skończone dodatnie stałe c ₁ , c ₂ takie, że

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} \ lewo [X_ {n} ^ {2} \ prawej] \ równoważnik c_ {1} \ nazwa operatora {E} [X_ {n}] ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {E} \ lewo [X_ {n} \ prawej] \ geq c_ {2}}$

dla każdego n , to z nierówności Paleya-Zygmunda wynika, że ​​dla każdego n i θ w (0, 1)

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {P} (X_ {n} \ geq c_ {2} \ teta) \ geq {\ Frac {(1- \ teta) ^ {2}} {c_ {1}}}.}$

W konsekwencji ta sama nierówność jest spełniona przez X .

Przykład zastosowania metody

Konfiguracja problemu

Podwykres perkolacji wiązań Bernoulliego wykresu G przy parametrze p jest losowym podwykresem otrzymanym z G przez niezależne usunięcie każdej krawędzi G z prawdopodobieństwem 1− p . Nieskończone kompletne drzewo binarne T jest nieskończonym drzewem , w którym jeden wierzchołek (nazywany korzeniem) ma dwóch sąsiadów, a każdy inny wierzchołek ma trzech sąsiadów. Metodę drugiego momentu można wykorzystać do pokazania, że ​​przy każdym parametrze p ∈ (1/2, 1] z dodatnim prawdopodobieństwem spójny składnik pierwiastka w podgrafie perkolacji T jest nieskończony.

Zastosowanie metody

Niech K będzie składową perkolacji korzenia i niech T _n będzie zbiorem wierzchołków T , które znajdują się w odległości n od korzenia. Niech X _n będzie liczbą wierzchołków w T _n ∩ K . Aby udowodnić, że K jest nieskończone z dodatnim prawdopodobieństwem, wystarczy pokazać, że ${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ do \ infty} 1_ {X_ {n}> 0}> 0 }$ z dodatnim prawdopodobieństwem. Za pomocą odwrotnego lematu Fatou wystarczy pokazać, że ${\ Displaystyle \ inf _ {n \ to \ infty} P (X_ {n}> 0)> 0}$ . Daje nierówność Cauchy'ego -Schwarza

${\ Displaystyle E [X_ {n}] ^ {2} \ równoważnik E [X_ {n} ^ {2}] \, E \ lewo [(1_ {X_ {n}> 0}) ^ {2} \ prawo ]=E[X_{n}^{2}]\,P(X_{n}>0).}$

Dlatego wystarczy to wykazać

${\ Displaystyle \ inf _ {n} {\ Frac {E \ lewo [X_ {n} \ prawo] ^ {2}} {E \ lewo [ X_{n}^{2}\right]}}>0\,,}$

to znaczy, że drugi moment jest ograniczony z góry przez stałą razy pierwszy moment do kwadratu (i oba są niezerowe). W wielu zastosowaniach metody drugiego momentu nie można dokładnie obliczyć momentów, ale mimo to można ustalić tę nierówność.

W tej konkretnej aplikacji momenty te można obliczyć. Dla każdego określonego v w T _n ,

${\ Displaystyle P (v \ w K) = p ^ {n}.}$

Od ${\ Displaystyle | T_ {n} | = 2 ^ {n}}$ wynika z tego, że

${\ Displaystyle E [X_ {n}] = 2 ^ {n} \ p ^ {n}}$

co jest pierwszą chwilą. Teraz następuje obliczenie drugiego momentu.

${\ Displaystyle E \! \ lewo [X_ {n} ^ {2} \ prawo] = E \! \ lewo [\ suma _ {v \ w T_ {n}} \ suma _ {u \ w T_ {n} }1_{v\in K}\,1_{u\in K}\right]=\sum _{v\in T_{n}}\sum _{u\in T_{n}}P(v,u \w K).}$

Dla każdej pary v , u w T _n niech w(v, u) oznacza wierzchołek w T , który jest najdalej od korzenia i leży na prostej ścieżce w T do każdego z dwóch wierzchołków v i u , i niech k( v, u) oznaczają odległość od w do korzenia. Aby v , u były w K , konieczne i wystarczające są trzy proste ścieżki od w(v, u) do v , u i pierwiastek w K . Ponieważ liczba krawędzi zawartych w sumie tych trzech ścieżek wynosi 2 n − k(v, u) , otrzymujemy

${\ Displaystyle P (v, u \ w K) = p ^ {2n-k (v, u)}.}$

Liczba par (v, u) taka, że ​​k (v, u) = s jest równe ${\ Displaystyle 2 ^ {s} \,2^{ns}\,2^{ns-1}=2^{2n-s-1}} ,$ dla s = 0, 1, ..., n . Stąd,

${\ Displaystyle E \! \ lewo [X_ {n} ^ {2} \ prawej] = \ suma _ {s = 0} ^{n}2^{2n-s-1}p^{2n-s}={\frac {1}{2}}\,(2p)^{n}\suma _{s=0}^{ n}(2p)^{s}={\frac {1}{2}}\,(2p)^{n}\,{\frac {(2p)^{n+1}-1}{2p- 1}}\leq {\frac {p}{2p-1}}\,E[X_{n}]^{2},}$

co kończy dowód.

Dyskusja

• Dobór zmiennych losowych X _n był w tym układzie raczej naturalny. W niektórych trudniejszych zastosowaniach metody może być _wymagana pewna pomysłowość, aby wybrać zmienne losowe Xn , dla których można przeprowadzić argumentację.
• Paleya -Zygmunda jest czasami używana zamiast nierówności Cauchy'ego-Schwarza i czasami może dawać bardziej wyrafinowane wyniki.
• Przy (błędnym) założeniu, że zdarzenia v , u w K są zawsze niezależne, ${\ Displaystyle P (v, u \ w K)=P(v\in K)\,P(u\in K)}$ , a drugi moment jest równy pierwszemu momentowi do kwadratu. Metoda drugiego momentu zwykle działa w sytuacjach, w których odpowiednie zdarzenia lub zmienne losowe są „prawie niezależne”.
• W tym zastosowaniu zmienne losowe X _n są podane jako sumy

${\ Displaystyle X_ {n} = \ suma _ {v \ in T_ {n}} 1_ {v \ in K}.}$

W innych zastosowaniach odpowiednimi użytecznymi zmiennymi losowymi są całki

${\ Displaystyle X_ {n} = \ int f_ {n} (t) \, d \ mu (t)}$

gdzie funkcje fa _n są losowe. W takiej sytuacji bierze się pod uwagę iloczyn μ × μ i oblicza się

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} E \ lewo [X_ {n} ^ {2} \ prawo] i = E \ lewo [ \int \int f_{n}(x)\,f_{n}(y)\,d\mu (x)\,d\mu (y)\right]\\&=E\left[\int \ int E\left[f_{n}(x)\,f_{n}(y)\right]\,d\mu (x)\,d\mu (y)\right],\end{wyrównane}} }$

gdzie ostatni krok jest zwykle uzasadniony za pomocą twierdzenia Fubiniego .

•   Burdzy, Krzysztof; Adelman, Omer; Pemantle, Robin (1998), „Zestawy unikane przez ruchy Browna”, Annals of Probability , 26 (2): 429–464, arXiv : math / 9701225 , doi : 10,1214/aop/1022855639 , hdl : 1773/2194 , S2CID 7338064
• Lyons, Russell (1992), „Losowy spacer, pojemność i perkolacja na drzewach”, Annals of Probability , 20 (4): 2043–2088, doi : 10.1214 / aop / 1176989540
• Lyons, Russell; Peres, Yuval, Prawdopodobieństwo na drzewach i sieciach