Metoda podwójnej kuli Fouriera

W matematyce metoda podwójnej kuli Fouriera (DFS) jest prostą techniką, która przekształca funkcję zdefiniowaną na powierzchni kuli w funkcję zdefiniowaną w domenie prostokątnej, zachowując okresowość zarówno w kierunku długości, jak i szerokości geograficznej.

Wstęp

Po pierwsze, funkcja na kuli jest zapisywana jako $, \ theta)} fa ( x , y$${\ Displaystyle f (\ lambda, \ theta)} fa ( x , θ ) {$ , z współrzędne , tj.

${\ Displaystyle f (\ lambda, \ teta) = f (\ cos \ lambda \ sin \ teta, \ sin \ lambda \ sin \ teta, \ cos \ teta), (\ lambda, \ teta) \ w [- \ pi ,\pi ]\razy [0,\pi ].}$

Funkcja $\ Displaystyle f (\ lambda, \ theta)}$$} teta }$ jest okresowa w ${\ Displaystyle 2 \ pi}$ , ale nie okresowa w ${\ Displaystyle \ lambda$ . Okresowość w kierunku szerokości geograficznej została utracona. Aby go odzyskać, funkcja jest „podwojona” i powiązana funkcja na ${\ Displaystyle [- \ pi, \ pi] \ razy [- \ pi, \ pi] }$ jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle {\ tylda {f}} (\ lambda, \ teta) = {\ rozpocząć {przypadki} g (\ lambda + \ pi, \ teta) i (\ lambda ,\theta )\in [-\pi ,0]\razy [0,\pi ],\\h(\lambda ,\theta )&(\lambda ,\theta )\in [0,\pi ] \times [0,\pi ],\\g(\lambda ,-\theta ),&(\lambda ,\theta )\in [0,\pi ]\times [-\pi ,0],\\h (\lambda +\pi ,-\theta )&(\lambda ,\theta )\in [-\pi ,0]\times [-\pi ,0],\\\end{przypadki}}}$

gdzie ${\ Displaystyle g (\ lambda, \ teta) = f (\ lambda - \ pi, \ teta)}$ i ${\ Displaystyle h (\ lambda, \ teta) = f (\ lambda, \ teta)}$ dla ${\ Displaystyle (\ lambda, \ teta )\w [0,\pi ]\razy [0,\pi ]}$ . Nowa funkcja $i$ 2 $2 \ pi}$$Displaystyle$ -okresowa w i ${\ Displaystyle \ lambda}$ stała wzdłuż linie odpowiadające biegunom i ${\ displaystyle \ theta = 0}$ i ${\ displaystyle \ theta = \ pm \ pi}$

Funkcję $rozwinąć$ do podwójnego szeregu

$około \ suma _ {j = -n} ^ {n }\sum _{k=-n}^{n}a_{jk}e^{ij\theta }e^{ik\lambda }}$

Historia

Metoda DFS została zaproponowana przez Merileesa i rozwinięta przez Stevena Orszaga . Od tego czasu metoda DFS była przedmiotem stosunkowo niewielu badań (chlubnym wyjątkiem jest praca Fornberga), być może ze względu na dominację sferycznych rozwinięć harmonicznych . W ciągu ostatnich piętnastu lat zaczęto ją wykorzystywać do obliczania pól grawitacyjnych w pobliżu czarnych dziur oraz do nowatorskiej czasoprzestrzennej analizy spektralnej .