Metoda siły jednostkowej

Metoda jednostkowej siły obojętnej zapewnia wygodny sposób obliczania przemieszczeń w systemach konstrukcyjnych. Ma zastosowanie zarówno do liniowych, jak i nieliniowych zachowań materiałów, a także do systemów podlegających efektom środowiskowym, a zatem jest bardziej ogólny niż drugie twierdzenie Castigliano .

Systemy dyskretne

Rozważ dyskretny system, taki jak kratownice, belki lub ramy, których elementy są połączone w węzłach. Niech spójny zbiór odkształceń prętów będzie dany przez $pręta$ który można obliczyć za . Te deformacje $,$ powodują przemieszczenia węzłowe określić

Zaczynamy od zastosowania N wirtualnych sił węzłowych $po$ każdego pożądanego , i znalezienia wirtualnych sił prętowych ${\ Displaystyle \ mathbf {Q} _ {M \ razy 1} ^ {*}},$ które są w równowadze z ${\ Displaystyle \ mathbf {R} _ {N \ razy 1} ^ {*} }$ :

$${\ Displaystyle \ mathbf {Q} _ {M \ razy 1} ^ {*} = \ mathbf {B} _ {M \ razy N} \ mathbf { R} _{N\razy 1}^{*}}$$

 

 

 

 

()

W przypadku układu statycznie niewyznaczalnego macierz $jest unikalna$ nie ponieważ zbiór spełniający równowagę węzłową Można go obliczyć jako odwrotność macierzy równowagi węzłowej dowolnego układu pierwotnego pochodzącego z układu pierwotnego.

Wyobraźmy sobie, że wewnętrzne i zewnętrzne siły wirtualne ulegają odpowiednio odkształceniom rzeczywistym i przemieszczeniom; wykonaną pracę wirtualną można wyrazić jako:

• Zewnętrzna praca wirtualna: ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {* T} \ mathbf {r}}$
• Wewnętrzna praca wirtualna: ${\ Displaystyle \ mathbf {Q} ^ {* T} \ mathbf {q}}$

Zgodnie z zasadą pracy wirtualnej , dwa wyrażenia pracy są równe:

$${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {* T} \ mathbf {r} = \ mathbf {Q} ^ {* T} \ mathbf {q}}$$

Podstawienie (1) daje

$${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {* T} \ mathbf {r} = \ mathbf {R} ^ {* T} \ mathbf {B} ^ {T} \ mathbf {q}.}$$

Ponieważ zawiera dowolne siły wirtualne, powyższe równanie daje ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {*}}$

$${\ Displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {B} ^ {T} \ mathbf {q}}$$

 

 

 

 

()

Godne uwagi jest to, że obliczenia w (2) nie obejmują żadnej integracji niezależnie od złożoności systemów, a wynik jest unikalny niezależnie od wyboru systemu podstawowego dla B . Jest więc o wiele wygodniejsza i bardziej ogólna niż klasyczna postać metody fikcyjnych jednostek obciążenia, która różni się w zależności od rodzaju systemu oraz nałożonych efektów zewnętrznych. Z drugiej strony należy zauważyć, że równanie (2) służy wyłącznie do obliczania przemieszczeń lub obrotów węzłów. Nie jest to ograniczenie, ponieważ w razie potrzeby możemy przekształcić dowolny punkt w węzeł.

Wreszcie nazwa obciążenie jednostkowe wynika z interpretacji, że współczynniki $w$ macierzy B równowadze z jednostkową siłą węzłową ${\ Displaystyle R_ {j}^{*}=1}$ , na mocy równania (1).

Systemy ogólne

W przypadku ogólnego systemu metoda siły obojętnej również wywodzi się bezpośrednio z zasady pracy wirtualnej . Ryc. (a) przedstawia system ze znanymi rzeczywistymi odkształceniami ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ epsilon}}}$ . Te deformacje, rzekomo spójne, powodują przemieszczenia w całym systemie. Na przykład punkt A przesunął się do punktu A' i chcemy obliczyć przemieszczenie r punktu A we wskazanym kierunku. W tym konkretnym celu wybieramy wirtualny układ sił na ryc. (b), który pokazuje:

• Jednostkowa siła R * jest w punkcie A i jest skierowana w kierunku r , tak że zewnętrzna praca wirtualna wykonana przez R * wynosi zero, zauważając, że praca wykonana przez wirtualne reakcje w (b) wynosi zero, ponieważ ich przemieszczenia w (a) są równe zeru :
  $${\ Displaystyle R ^ {*} \ razy r = 1 \ razy r}$$
  jest pożądanym przemieszczeniem
• Wewnętrzna wirtualna praca wykonana przez wirtualne naprężenia wynosi
  $${\ Displaystyle \ int _ {V} {\ boldsymbol {\ epsilon}} ^ {T} {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {*} dV}$$
  gdzie wirtualne naprężenia muszą wszędzie $.$

Zrównanie dwóch wyrażeń pracy daje pożądane przemieszczenie:

$${\ Displaystyle 1 \ razy r = \ int _ {V} {\ boldsymbol {\ epsilon}} ^ {T} {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {*} dV}$$