Miejsce cięcia (rozmaitość riemannowska)

W geometrii Riemanna miejsce cięcia punktu w rozmaitości jest z grubsza zbiorem wszystkich innych punktów, dla których istnieje wiele geodezji minimalizujących łączących je z ${\ displaystyle p}$$}$ ale może zawierać dodatkowe punkty p {\ displaystyle p gdzie minimalizacja geodezyjna jest wyjątkowa w pewnych okolicznościach. Funkcja odległości od p jest funkcją gładką , z wyjątkiem samego punktu p i miejsca cięcia.

Definicja

$Displaystyle$ punkt w kompletnej rozmaitości Riemanna $(M, g)}$ i rozważ przestrzeń styczną ${\ displaystyle T_ {p} M}$ . Jest to standardowy wynik, że dla wystarczająco małej $Displaystyle$ zdefiniowanej przez wykładniczą mapę Riemanna , $T_ {p} M}$ , ${\ Displaystyle \ gamma (t) = \ exp _ {p} (tv)}$ dla należącego do przedziału $jest$$\ Displaystyle [0,1]}$ minimalizującą geodezyjną i jest unikalna minimalizująca geodezja łącząca dwa punkty końcowe. Tutaj ${\ displaystyle \ exp _ {p}}$ oznacza mapę wykładniczą z ${\ displaystyle p}$ . Miejsce cięcia przestrzeni stycznej $jest$ w zdefiniowane jako zbiór wszystkich wektorów $Displaystyle T_ {p$ T $M}$ tak, że ${\ Displaystyle \ gamma (t) = \ exp _ {p} (tv)}$ jest geodezyjną minimalizacją dla ${\ Displaystyle t \ w [0,1]},$ ale się nie udaje minimalizować dla dowolnego $= 1+ \ epsilon$$}$ . jest $zdefiniowane$ jako $obraz$ cięcia miejsca cięcia w przestrzeni stycznej pod mapą wykładniczą w $displaystyle$$p}$ . W ten sposób możemy zinterpretować miejsce cięcia $w$$.$$punkty$ w rozmaitości, w których geodezja zaczynająca się od się minimalizować

Najmniejsza odległość od p do miejsca cięcia to promień iniekcji w p . Na otwartej kuli o tym promieniu mapa wykładnicza w p jest dyfeomorfizmem od przestrzeni stycznej do rozmaitości i jest to największy taki promień. Globalny promień iniekcji jest definiowany jako infimum promienia iniekcji w p , we wszystkich punktach rozmaitości.

Charakteryzacja

Załóżmy, $że$ w miejscu cięcia w $Displaystyle$$M}$ . Standardowym wynikiem jest to, że albo (1) istnieje więcej niż jeden minimalizujący geodezyjny łączący się z $lub$${\ displaystyle q}$ (2) ${\ displaystyle p}$ i są sprzężone ${\ displaystyle q$ wzdłuż jakiejś geodezyjnej, która je łączy. Możliwe jest, aby zarówno (1), jak i (2) zachodziły.

Przykłady

Na standardowej okrągłej n -sferze miejsce cięcia punktu składa się z pojedynczego punktu znajdującego się naprzeciw niego (tj. punktu antypodalnego ). Na nieskończenie długim walcu miejsce cięcia punktu składa się z linii przeciwnej do punktu.

Aplikacje

Znaczenie miejsca cięcia polega na tym, że funkcja odległości od punktu $\ displaystyle p$$gładka$ , z wyjątkiem miejsca cięcia samego $}$ { W szczególności sensowne jest odebranie gradientu i Hesji funkcji odległości od miejsca cięcia i ${\ displaystyle p}$ . Pomysł ten jest używany w lokalnym twierdzeniu o porównaniu Laplaca i lokalnym twierdzeniu o porównaniu Hessego. Są one używane w dowodzie lokalnej wersji twierdzenia Toponogowa i wielu innych ważnych twierdzeń w geometrii Riemanna.

Miejsce cięcia podzbioru

W podobny sposób można zdefiniować miejsce cięcia podrozmaitości rozmaitości riemannowskiej w kategoriach jej normalnej mapy wykładniczej.

Zobacz też

• Żrący (matematyka)