Model Ehrenfesta

Model Ehrenfesta (lub model psiej pchły ) dyfuzji został zaproponowany przez Tatianę i Paula Ehrenfesta w celu wyjaśnienia drugiej zasady termodynamiki . Model uwzględnia N w dwóch pojemnikach. Cząstki niezależnie zmieniają pojemnik z szybkością λ . Jeśli X ( t ) = i jest zdefiniowane jako liczba cząstek w jednym pojemniku w czasie t , to jest to proces narodzin i śmierci z szybkościami przejść

• ${\ Displaystyle q_ {i, i-1} = ja \, \ lambda}$ dla ja = 1, 2, ..., N
• ${\ Displaystyle q_ {i, i + 1} = (Ni \,) \ lambda}$ dla ja = 0, 1, ..., N - 1

i rozkład równowagi ${\ Displaystyle \ pi _ {i} = 2 ^ {- N} {\ tbinom {N} {i}}}$ .

Mark Kac udowodnił w 1947 r., że jeśli początkowy stan układu nie jest równowagą, to entropia , dana przez

${\ Displaystyle H (t) = - \ suma _ {i} P ( X(t)=i)\log \left({\frac {P(X(t)=i)}{\pi _{i}}}\right),}$

jest monotonicznie rosnący ( twierdzenie H ). Jest to konsekwencją zbieżności do rozkładu równowagi.

Interpretacja wyników

Weź pod uwagę, że na początku wszystkie cząstki znajdują się w jednym z pojemników. Oczekuje się, $i ustabilizuje w pobliżu tego stanu (pojemniki będą miały$ z czasem liczba cząstek w tym pojemniku zbliży się przybliżeniu taką samą liczbę cząstek) Jednak z matematycznego punktu widzenia powrót do stanu początkowego jest możliwy (a nawet prawie pewny). Z twierdzenia o średniej powtarzalności wynika, że ​​nawet oczekiwany czas powrotu do stanu początkowego jest skończony i wynosi ${\ displaystyle 2 ^ {N}}$ . Korzystając z przybliżenia Stirlinga, można stwierdzić, że jeśli zaczniemy od stanu równowagi (taka sama liczba cząstek w pojemnikach), oczekiwany czas powrotu do równowagi jest asymptotycznie równy ${\ Displaystyle \ textstyle {\ sqrt {\ pi N/2 }}}$ . $Jeśli założymy$$równowagi,$ szczególnym przypadku cząstek, począwszy od stanu oczekuje się, że powrót do równowagi nastąpi po sekundach , zaczynając od konfiguracji w jednym z pojemników, ${\ displaystyle 0}$$w$ drugim, oczekuje się, że powrót do tego stanu zajmie $\ Displaystyle 4 \ cdot 10 ^ {22} }$ lat. Zakłada to, że chociaż teoretycznie jest to pewne, jest mało prawdopodobne, aby zaobserwowano powrót do początkowego stanu wysoce nieproporcjonalnego.

Bibliografia

• Paul i Tatjana Ehrenfest: Über zwei bekannte Einwände gegen das Boltzmannsche H-Theorem. Physikalische Zeitschrift , tom. 8 (1907) , s. 311–314.
•   FP Kelly : Model Ehrenfesta , w Odwracalności i sieciach stochastycznych . Wiley, Chichester, 1979. ISBN 0-471-27601-4 s. 17–20.
• David O. Siegmund: Ehrenfest model dyfuzji (matematyka) . Encyklopedia Britannica .