Model Isinga z polem poprzecznym

Model pola poprzecznego Isinga jest kwantową wersją klasycznego modelu Isinga . Zawiera sieć z interakcjami najbliższego sąsiada określonymi przez wyrównanie lub anty-wyrównanie rzutów spinowych wzdłuż osi $($$osi$ także zewnętrzne pole magnetyczne prostopadłe do bez utraty ogólność, wzdłuż $)$ , która tworzy energetyczne odchylenie dla jednego kierunku wirowania osi X w stosunku do drugiego.

$są$ układu jest to, że w sensie kwantowym projekcja spinu wzdłuż $osi$ i projekcja spinu wzdłuż obserwowalnymi wielkościami dojeżdżającymi do pracy. Oznacza to, że nie można ich obserwować jednocześnie. Oznacza to, że klasyczna mechanika statystyczna nie może opisać tego modelu i potrzebne jest leczenie kwantowe.

W szczególności model ma następujący hamiltonian kwantowy :

${\ Displaystyle H = -J \ lewo (\ suma _ {\ langle i, j \ rangle} Z_ {i} Z_ { j}+g\suma _{j}X_{j}\prawo)}$

$Tutaj indeksy dolne odnoszą$$j$ do kratowych, a suma ${\ displaystyle j}$ najbliższych . ${\ Displaystyle X_ {j}}$ i ${\ Displaystyle Z_ {j}}$ są reprezentacjami elementów algebry spinowej (macierze Pauliego, w przypadku spinu 1/2) działających na zmienne spinowe odpowiednich miejsc. Przeciwstawiają się dojazdom do pracy, jeśli znajdują się w tym samym miejscu, i dojeżdżają do pracy, jeśli znajdują się w różnych miejscach. $jest$ prefaktorem z wymiarami energii i jest kolejnym współczynnikiem sprzężenia $,$ określa względną siłę pola zewnętrznego w porównaniu z interakcją najbliższego sąsiada

Fazy ​​modelu Isinga pola poprzecznego 1D

Poniżej dyskusja jest ograniczona do jednowymiarowego przypadku, w którym każde miejsce sieciowe jest dwuwymiarową zespoloną przestrzenią Hilberta (tj. reprezentuje cząstkę o spinie 1/2). Dla uproszczenia tutaj $i$ znormalizowane $wyznacznik$ -1. Hamiltonian posiada grupę symetrii, ponieważ jest niezmienny w ramach jednostkowej operacji odwracania wszystkich spinów w ${\ displaystyle \ mathbb {$$} _ {2}}$ kierunek. Dokładniej, transformacja symetrii jest dana przez unitarną ${\ displaystyle \ prod _ {j} X_ {j}}$ .

Model 1D dopuszcza dwie fazy, w zależności od tego, czy stan podstawowy (konkretnie, w przypadku degeneracji, stan podstawowy, który nie jest stanem makroskopowo splątanym) łamie lub zachowuje wspomniany wyżej ∏ j X j {\ ${ j}X_{j}}$ symetria spin-odwrócenie. Znak $}$ wpływa na dynamikę, ponieważ system z dodatnim $odwzorować$ na system z ujemnym, $wykonując$ π $\ displaystyle \$ obrót wokół $j$ drugiej witryny $displaystyle j}$ .

Model można dokładnie rozwiązać dla wszystkich stałych sprzężenia. Jednak jeśli chodzi o obroty na miejscu, rozwiązanie jest generalnie bardzo niewygodne, aby jawnie zapisać je w kategoriach zmiennych spinowych. Wygodniej jest zapisać rozwiązanie jawnie w kategoriach zmiennych fermionowych zdefiniowanych przez transformację Jordana-Wignera , w którym to przypadku stany wzbudzone mają prosty opis kwazicząstki lub quasidziury.

Faza zamówiona

kiedy $że$ system jest w fazie uporządkowanej W tej fazie stan podstawowy łamie symetrię spin-flip. Tak więc stan podstawowy jest w rzeczywistości podwójnie zdegenerowany. Dla $uporządkowanie$ występuje ferromagnetyczne , podczas gdy $uporządkowania$ .

Dokładnie, jeśli ${\ Displaystyle | \ psi _ {1} \ rangle}$ jest stanem podstawowym hamiltonianu, a następnie ${\ Displaystyle |\ psi _ {2} \ rangle \ równoważnik \ prod _ {j} X_ {j} | \ psi _ {1} \ rangle \ neq | \ psi _ {1} \ rangle}$ jest również stan podstawowy i razem ${\ Displaystyle | \ psi _ {1} \ rangle}$ i ${\ Displaystyle | \ psi _ {2} \ rangle}$ obejmują zdegenerowaną przestrzeń stanów podstawowych. ${\ Displaystyle | \ ldots \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ ldots \ rangle}$ prosty przykład $stany$$|$ , podstawowe i ${\ Displaystyle | \ ldots \ strzałka w dół \ strzałka w dół \ strzałka w dół \ ldots \ rangle}$$,$ to znaczy ze wszystkimi spinami wyrównanymi wzdłuż .

Jest to faza z przerwami, co oznacza, że ​​stany wzbudzone o najniższej energii mają energię wyższą niż energia stanu podstawowego o wartość różną od zera (nieznikająca w granicy termodynamicznej). W szczególności ta przerwa energetyczna wynosi ${\ Displaystyle 2 | J | (1- | g |)}$ .

Faza nieuporządkowana

Natomiast gdy ${\ Displaystyle | g|> 1}$ mówi się, że system jest w fazie nieuporządkowanej. Stan podstawowy zachowuje symetrię spin-flip i nie jest zdegenerowany. Jako prosty przykład, gdy $nieskończoność$ , stan podstawowy to $.$$kierunku w$ znaczy z obrotem w miejscu

Jest to również faza z przerwami. Luka energetyczna wynosi ${\ Displaystyle 2 | J | (| g | -1)}$

Faza bez przerw

kiedy ${\ displaystyle | g|=1}$ , system przechodzi kwantową zmianę fazową. Przy tej wartości $przerw$ , a jego zachowanie przy niskiej energii jest opisane przez dwuwymiarową konforemną teorię pola Isinga. Ta teoria konforemna ma ładunek centralny $i$ jednostkowych minimalnych z centralnym ładunkiem mniejszym niż 1. Oprócz operatora tożsamości teoria ma dwa podstawowe pola, jedno z wymiarami skalowania, a drugie ze skalowaniem ( $\ Displaystyle (1/16,1/16)}$ wymiary ${\ Displaystyle (1/2,1/2)}$ .

Transformacja Jordana-Wignera

Możliwe jest przepisanie zmiennych spinowych na zmienne fermionowe przy użyciu wysoce nielokalnej transformacji znanej jako transformacja Jordana-Wignera.

Operator tworzenia fermionów na miejscu $można$$sztylet} = { \frac {1}{2}}(Z_{j}+iY_{j})\prod _{k<j}X_{k}}$ jako do . Wówczas pole poprzeczne hamiltonianu Isinga (zakładając nieskończony łańcuch i pomijając efekty brzegowe) można wyrazić w całości jako sumę lokalnych wyrazów kwadratowych zawierających operatory kreacji i anihilacji.

${\ Displaystyle H = - J \ suma _ {j} (c_ {j} ^ {\ sztylet} c_ {j + 1} + c_ {j + 1} ^ {\ sztylet} c_ {j} + c_ {j} ^ {\ sztylet} c_ {j+1} ^ {\ sztylet} + c_ {j + 1} c_ {j} -2g (c_ {j} ^ {\ sztylet} c_ {j} -1/2})}$

${\ Displaystyle c_ {j} ^ {\ sztylet} c_ {j + 1} ^ {\ sztylet} + c_ {j + 1} c_ {j}} termin$ nie ma powiązanej symetrii ze względu na obecność $do$ . Jednak zachowuje parzystość fermionu. Oznacza to, że hamiltonian komutuje się z operatorem kwantowym, który wskazuje, czy całkowita liczba fermionów jest parzysta czy nieparzysta, a parzystość ta nie zmienia się wraz z ewolucją układu w czasie. Hamiltonian jest matematycznie identyczny z nadprzewodnikiem w formalizmie pola średniego Bogoliubova-de Gennesa i można go całkowicie zrozumieć w ten sam standardowy sposób. Dokładne widmo wzbudzenia i wartości własne można określić, przekształcając Fouriera w przestrzeń pędu i diagonizując hamiltonian. Pod względem fermionów Majorany ${\ Displaystyle a_ {j} = c_ {j} ^ {\ sztylet} + c_ {j}}$ i ${\ Displaystyle b_ {j}=-i(c_{j}^{\dagger}-c_{j})}$ , hamiltonian przybiera jeszcze prostszą postać,

$H = i \ suma _ {j} J (a_ {j + 1} b_ {j} + gb_ {j} a_ {J})}$

Dualizm Kramersa-Wanniera

Nielokalne odwzorowanie macierzy Pauliego, znane jako transformacja dualności Kramersa – Wanniera, można wykonać w następujący sposób:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane}} {\ tylda {X_ {j}}} i = Z_ {j} Z_ { j+1}\\{\tylda {Z}}_{j}{\tylda {Z}}_{j+1}&=X_{j+1}\end{wyrównane}}}$$

Następnie, jeśli chodzi o nowo zdefiniowane macierze Pauliego z tyldami, które podlegają tym samym relacjom algebraicznym, co oryginalne macierze Pauliego, hamiltonian to po prostu ${\ Displaystyle H = - Jg \ suma _ {j} ({\ tylda {Z}} _ {j} {\ tylda {Z}} _ {j + 1} + g ^ {-1} \tylda {X}}_{j})}$ . Oznacza to, że model z parametrem sprzężenia ${\ displaystyle g}$ jest dualny w stosunku do modelu z parametrem sprzężenia $nieuporządkowaną$ dwoistość między fazą uporządkowaną a fazą Jeśli chodzi o wspomniane powyżej fermiony Majorany, ta dwoistość jest bardziej wyraźnie widoczna w trywialnym ponownym oznakowaniu. $\ Displaystyle a_ {j} \ do b_ {j}, b_ {j} \do a_{j+1}}$ .

Zauważ, że istnieją pewne subtelne kwestie na granicach łańcucha Isinga; w wyniku tego właściwości degeneracji i symetrii uporządkowanych i nieuporządkowanych faz ulegają zmianie w ramach dualizmu Kramersa $-$

Uogólnienia

Model kwantowego Pottsa stanu $stanami$$są$ kwantowego uogólnieniami modelu pola poprzecznego Isinga na systemy kratowe ze na miejsce. Model pola poprzecznego Isinga reprezentuje przypadek, w którym ${\ displaystyle q = 2}$ .

Klasyczny model Isinga

Model kwantowego pola poprzecznego Isinga w $do$$jest$ klasycznego modelu Isinga w wymiarach