Moduł Thiele'a

Moduł Thiele został opracowany przez Ernesta Thiele w jego artykule „Zależność między aktywnością katalityczną a rozmiarem cząstek” w 1939 r. Thiele doszedł do wniosku, że wystarczająco duża cząstka ma szybkość reakcji tak szybką, że siły dyfuzyjne mogą jedynie unieść produkt z powierzchni cząsteczka katalizatora . _ Dlatego tylko powierzchnia katalizatora podlegałaby jakiejkolwiek reakcji.

Moduł Thiele'a został opracowany w celu opisania zależności między dyfuzją a szybkością reakcji w porowatych granulkach katalizatora bez ograniczeń przenoszenia masy . Ta wartość jest zwykle używana do pomiaru współczynnika skuteczności peletów.

Moduł Thiele jest reprezentowany przez różne symbole w różnych tekstach, ale jest zdefiniowany w Hill jako h _T .

$szybkość dyfuzji {\ Displaystyle h_ {T} ^ {2} = {\ dfrac {\ mbox {szybkość reakcji}}} {\ mbox {szybkość dyfuzji}}}}$

Przegląd

Wyprowadzenie modułu Thiele (z Hilla) rozpoczyna się od bilansu materiału na porach katalizatora . Dla nieodwracalnej reakcji pierwszego rzędu w prostym cylindrycznym porach w stanie ustalonym:

${\ Displaystyle {\ pi} r ^ {2} \ lewo (-D_ {c} {\ Frac {dC} {dx}} \ prawej) _ {x} = {\ pi} r ^ {2} \ lewo ( -D_{c}{\frac {dC}{dx}}\right)_{x+{\Delta}x}+\left(2{\pi}r{\Delta}x\right)\left(k_{ 1}C\prawo)}$

gdzie $jest$ dyfuzyjności i $_$ stałą _ _ _

Następnie, przekształcając równanie w różnicę , dzieląc przez ${\ Displaystyle {\ Delta} x}$ i przyjmując granicę , gdy zbliża się do 0 , ${\ Displaystyle {\ Delta} x}$

${\ Displaystyle D_ {c} \ lewo ({\ Frac {d ^ {2} C} {dx ^ {2}}} \ prawej) = { \frac {2k_{1}C}{r}}}$

To równanie różniczkowe z następującymi warunkami brzegowymi :

${\ Displaystyle C = C_ {o} {\ tekst {w}} x = 0}$

I

$\ Displaystyle {\ Frac {dC} {dx}} = 0 {\ tekst {w}} x = L}$

gdzie pierwszy warunek brzegowy wskazuje na stałe zewnętrzne stężenie na jednym końcu pora, a drugi warunek brzegowy wskazuje, że nie ma wypływu z drugiego końca pora.

Podstawiając te warunki brzegowe, mamy

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} C} {d (x / L) ^ {2}}} = \left({\frac {2k_{1}L^{2}}{rD_{c}}}\right)C}$

Wyrażenie po prawej stronie pomnożone przez C reprezentuje kwadrat modułu Thiele'a, który , jak widzimy, wyrasta naturalnie z równowagi materialnej. Wtedy moduł Thiele'a dla reakcji pierwszego rzędu wynosi:

${\ Displaystyle h_ {T} ^ {2} = {\ Frac {2k_ {1} L ^ {2}} {rD_ {c}}}}$

Z tej zależności jest oczywiste, że przy dużych wartościach $jest$ termin szybkości i reakcja , podczas gdy powolna dyfuzja ogranicza ogólną szybkość. Mniejsze wartości modułu Thiele reprezentują powolne reakcje z szybką dyfuzją.

Inne formy

Reakcje innych rzędów można rozwiązać w podobny sposób jak powyżej. Wyniki przedstawiono poniżej dla nieodwracalnych reakcji w prostych cylindrycznych porach.

Reakcja drugiego rzędu

${\ Displaystyle h_ {2} ^ {2} = {\ Frac {2L ^ {2} k_ {2} C_ {o}} {rD_ {c}} }}$

Reakcja rzędu zerowego

$\ Displaystyle h_ {o} ^ {2} = {\ Frac {2L ^ {2} k_ {o}} {rD_ {c} C_ {o}$

Współczynnik efektywności

Współczynnik efektywności η wiąże szybkość reakcji dyfuzyjnej z szybkością reakcji w strumieniu masowym.

Dla reakcji pierwszego rzędu w geometrii płyty jest to:

${\ Displaystyle {\ eta} = {\ Frac {\ tanh h_ {T}} {h_ {T}}}}$