Morfizm quasi-oddzielony
W geometrii algebraicznej morfizm schematów f od X do Y nazywany jest quasi-oddzielnym , jeśli przekątna od X do X × Y X jest quasi-zwarta (co oznacza, że odwrotny obraz dowolnego quasi-zwartego zbioru otwartego jest quasi-zwarty ). Schemat X nazywany jest quasi-oddzielnym, jeśli morfizm Spec Z jest quasi-oddzielony. Quasi-oddzielone przestrzenie algebraiczne i stosy algebraiczne a morfizmy między nimi są definiowane w podobny sposób, chociaż niektórzy autorzy uwzględniają warunek, że X jest quasi-oddzielone jako część definicji przestrzeni algebraicznej lub stosu algebraicznego X . Morfizmy quasi-rozdzielone wprowadzili Grothendieck i Dieudonné (1964 , 1.2.1) jako uogólnienie morfizmów oddzielonych.
Wszystkie oddzielone morfizmy (i wszystkie morfizmy schematów noetherowskich) są automatycznie quasi-oddzielone. Morfizmy quasi-oddzielone są ważne w przestrzeniach algebraicznych i stosach algebraicznych, gdzie wiele naturalnych morfizmów jest quasi-oddzielonych, ale nie rozdzielonych.
Warunek, że morfizm jest quasi-oddzielony, często występuje razem z warunkiem, że jest on quasi-zwarty.
Przykłady
- Jeśli X jest lokalnie schematem noetherowskim, wówczas każdy morfizm X do dowolnego schematu jest quasi-oddzielony, a w szczególności X jest schematem quasi-oddzielnym.
- Każdy oddzielony schemat lub morfizm jest quasi-oddzielony.
- Linia z dwoma początkami nad polem jest quasi-oddzielona nad polem, ale nie oddzielona.
- Jeśli X jest „nieskończenie wymiarową przestrzenią wektorową z dwoma początkami” nad ciałem K , wówczas morfizm od X do spec K nie jest quasi-oddzielony. Dokładniej X składa się z dwóch kopii Spec K [ x 1 , x 2 ,....] sklejonych ze sobą poprzez identyfikację niezerowych punktów w każdej kopii.
- 0 Iloraz przestrzeni algebraicznej przez nieskończoną dyskretną grupę działającą swobodnie często nie jest quasi-oddzielony. Na przykład, jeśli K jest polem charakterystycznym , to iloraz linii afinicznej przez grupę liczb całkowitych Z jest przestrzenią algebraiczną, która nie jest quasi-oddzielona. Ta przestrzeń algebraiczna jest także przykładem obiektu grupy w kategorii przestrzeni algebraicznych, który nie jest schematem; quasi-oddzielone przestrzenie algebraiczne będące obiektami grupowymi są zawsze schematami grupowymi. Istnieją podobne przykłady podane poprzez iloraz schematu grupowego G m przez nieskończoną podgrupę lub iloraz liczb zespolonych przez siatkę.
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1964). „Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie” . Publikacje Mathématiques de l'IHÉS . 20 . doi : 10.1007/bf02684747 . MR 0173675 .