Nadprzestrzeń harmoniczna

W supersymetrii superprzestrzeń harmoniczna jest jednym ze sposobów radzenia sobie z teoriami supersymetrycznymi z 8 rzeczywistymi generatorami SUSY w sposób wyraźnie kowariantny. Okazuje się, że 8 rzeczywistych generatorów SUSY jest pseudorzeczywistych i po złożoności odpowiada iloczynowi tensorowemu czterowymiarowego spinora Diraca z podstawową reprezentacją SU(2) _R . Przestrzeń ilorazowa ${\ Displaystyle SU (2) _ {R} / U (1) _ {R} \ ok. S ^ {2} \ simeq \ mathbb {CP} ^ {1}}$ , która jest 2-sferą / kulą Riemanna .

Superprzestrzeń harmoniczna opisuje N=2 D=4, N=1 D=5 i N=(1,0) D=6 SUSY w sposób ewidentnie kowariantny.

Istnieje wiele możliwych układów współrzędnych nad S ² , ale wybrany nie tylko obejmuje współrzędne redundantne, ale także jest koordynacją ${\ Displaystyle SU (2) _ {R} \ około S^{3}}$ . Otrzymujemy S ^{2 dopiero} po rzucie na ${\ Displaystyle U (1) _ {R} \ około S ^ {1}}$ . Jest to oczywiście włóknienie Hopfa . Weź pod uwagę pozostawił działanie SU(2) _R na siebie. Możemy następnie rozszerzyć to na przestrzeń funkcji gładkich o wartościach zespolonych na SU(2) _R . W szczególności mamy podprzestrzeń funkcji przekształcających się jako podstawową reprezentację pod SU(2) _R . Podstawową reprezentacją (oczywiście do izomorfizmu) jest dwuwymiarowa zespolona przestrzeń wektorowa. Oznaczmy indeksy tej reprezentacji przez i,j,k,...=1,2. Interesująca nas podprzestrzeń składa się z dwóch kopii podstawowej reprezentacji. Pod właściwym działaniem U(1) _R - który dojeżdża z dowolną lewą akcją - jedna kopia ma „ładunek” +1, a druga -1. Oznaczmy funkcje bazowe ${\ displaystyle u ^ {\ pm i}}$ .

{\ Displaystyle \ lewo (u ^ {+ i} \ prawo) ^ {*} = u_ {i} ^ {-}}

.

Redundancja we współrzędnych jest dana przez

{\ Displaystyle u ^ {+ i} u_ {i} ^ {-} = 1}

.

Wszystko można interpretować w kategoriach geometrii algebraicznej . Rzut jest określony przez „transformację miernika” ${\ Displaystyle u ^ {\ pm i} \ do e ^ {\ pm i \ phi} u ^ {\ pm i}}$ gdzie φ jest dowolną liczbą rzeczywistą. Pomyśl o S ³ jako o U(1) _R - głównym pakiecie nad S ² z niezerową pierwszą klasą Chern . Następnie „pola” nad S ² charakteryzują się całkowitym ładunkiem U(1) _R określonym przez właściwe działanie U(1) _R . Na przykład u ⁺ ma ładunek +1, a u ⁻ -1. Zgodnie z konwencją pola z ładunkiem +r są oznaczane indeksem górnym z r +, podobnie jak pola z ładunkiem -r. Ładunki R są addytywne przy mnożeniu pól.

Ładunki SUSY to ${\ Displaystyle \ theta ^ {i \ alfa$ współrzędne fermionowe to $}$ } Harmoniczna superprzestrzeń jest dana przez iloczyn zwykłej rozszerzonej superprzestrzeni (z 8 rzeczywistymi współrzędnymi fermionowymi) z S ² z nietrywialną wiązką U(1) _R nad nią. Produkt jest nieco skręcony, ponieważ współrzędne fermionowe są również naładowane pod U(1) _R . Opłata ta jest nadawana przez

{\ Displaystyle \ teta ^ {\ pm \ alfa} = u_ {i} ^ {\ pm} \ teta ^ {i \ alfa}}

.

Możemy zdefiniować $}$ kowariantne z właściwością, że superkomutują z transformacjami SUSY i $}^{\pm }f(u)=0}$ $_ {\ alfa} ^ {$ gdzie f jest dowolną funkcją zmiennych harmonicznych. Podobnie zdefiniuj

{\ Displaystyle D ^ {++} \ równoważnik u ^ {+ i} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy u ^ {-i}}}}

I

{\ Displaystyle D ^ {--} \ równoważnik u ^ {-i} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy u ^ {+ i}}}}

.

Chiralne superpole q z ładunkiem R równym r spełnia ${\ Displaystyle D _ {\ alfa} ^ {+} q = 0}$ . Skalarny hipermultiplet jest dany przez chiralne superpole ${\ displaystyle q ^ {+}}$ . Mamy dodatkowe ograniczenie

{\ Displaystyle D ^ {++} q ^ {+} = J ^ {+++} (q ^ {+}, \, u)}

.

Zgodnie z twierdzeniem Atiyaha-Singera o indeksie , przestrzenią rozwiązań poprzedniego ograniczenia jest dwuwymiarowa zespolona rozmaitość.

Stosunek do kwaternionów

Grupę można utożsamiać $z$ grupą kwaternionów Liego ${\ Displaystyle SU (2) _ {R}}$ , stąd kwaterniony działają na styczną przestrzeń rozszerzonej superprzestrzeni. Bozonowe wymiary czasoprzestrzeni przekształcają się trywialnie pod ${\ Displaystyle SU (2) _ {R}}$ podczas gdy wymiary fermionowe przekształcają się zgodnie z reprezentacją podstawową . Lewe mnożenie przez kwaterniony jest liniowe. Rozważmy teraz podprzestrzeń kwaternionów jednostkowych bez składowej rzeczywistej, która jest izomorficzna z S ² . Każdy element tej podprzestrzeni może działać jako liczba urojona i w złożonej podalgebrze kwaternionów. Zatem dla każdego elementu S ² możemy użyć odpowiedniej jednostki urojonej do zdefiniowania struktury zespolonej-rzeczywistej w rozszerzonej superprzestrzeni z 8 rzeczywistymi generatorami SUSY. Całość wszystkich struktur CR dla każdego punktu w S ² to superprzestrzeń harmoniczna.

Zobacz też