Największy mały wielokąt
W geometrii największym małym wielokątem dla liczby n jest wielokąt o n bokach , który ma średnicę jeden (to znaczy, że każde dwa jego punkty znajdują się w odległości jednostkowej od siebie) i który ma największe pole spośród wszystkich średnic jeden n -gony. Jedno niejednoznaczne rozwiązanie, gdy n = 4 jest kwadratem , a rozwiązaniem jest wielokąt foremny , gdy n jest liczbą nieparzystą, ale poza tym rozwiązanie jest nieregularne.
Czworokąty
Dla n = 4 pole dowolnego czworoboku jest określone wzorem S = pq sin( θ )/2, gdzie p i q to dwie przekątne czworoboku, a θ to jeden z kątów, które ze sobą tworzą. Aby średnica wynosiła co najwyżej 1, zarówno p , jak i q same muszą wynosić co najwyżej 1. Dlatego czworokąt ma największe pole, gdy trzy czynniki we wzorze na pole są indywidualnie maksymalizowane, przy czym p = q = 1 i sin ( θ ) = 1. Warunek, że p = q oznacza, że czworokąt jest czworokątem równoprzekątnym (jego przekątne są równej długości), a warunek, że sin( θ ) = 1 oznacza, że jest to czworokąt ortodiagonalny (jego przekątne przecinają się po prawej stronie kąty). Czworokąty tego typu obejmują kwadrat o przekątnych jednostkowych, który ma pole 1/2. Jednak nieskończenie wiele innych czworoboków ortodiagonalnych i równoprzekątnych również ma średnicę 1 i ma takie samo pole jak kwadrat, więc w tym przypadku rozwiązanie nie jest unikalne.
Nieparzysta liczba boków
Dla nieparzystych wartości n Karl Reinhardt wykazał w 1922 r., Że wielokąt foremny ma największe pole spośród wszystkich wielokątów o średnicy jeden.
Parzysta liczba boków
W przypadku n = 6 unikalny optymalny wielokąt nie jest regularny. Rozwiązanie tej sprawy zostało opublikowane w 1975 r. przez Ronalda Grahama , odpowiadając na pytanie postawione w 1956 r. przez Hanfrieda Lenza ; ma postać nieregularnego pięciokąta równoprzekątnego, do którego jednego z boków przylega rozwarty trójkąt równoramienny, którego odległość od wierzchołka trójkąta do przeciwległego wierzchołka pięciokąta jest równa przekątnym pięciokąta. Jego powierzchnia to 0,674981.... (sekwencja A111969 w OEIS ), liczba spełniająca równanie
- 4096 x 10 +8192 x 9 - 3008 x 8 - 30848 x 7 + 21056 x 6 + 146496 x 5 - 221360 x 4 + 1232 x 3 + 144464 x 2 - 78488 x + 11993 = 0.
Graham przypuszczał, że optymalne rozwiązanie dla ogólnego przypadku parzystych wartości n składa się w ten sam sposób ze równoprzekątnego ( n - 1) -gonu z trójkątem równoramiennym przymocowanym do jednego z jego boków, którego wierzchołek znajduje się w jednostkowej odległości od przeciwnego ( n − 1)-gon wierzchołek. W przypadku n = 8 zostało to zweryfikowane przez obliczenia komputerowe przeprowadzone przez Audeta i in. Dowód Grahama, że jego sześciokąt jest optymalny, oraz dowód komputerowy przypadku n = 8 obejmowały analizę przypadku wszystkich możliwych n - wierzchołków z prostymi krawędziami.
Pełną hipotezę Grahama, charakteryzującą rozwiązanie największego problemu małego wielokąta dla wszystkich parzystych wartości n , udowodnili w 2007 roku Foster i Szabo.
Zobacz też
- Mały ośmiokąt Hansena
- Wielokąt Reinhardta , wielokąty maksymalizujące obwód dla ich średnicy, maksymalizujące szerokość dla ich średnicy i maksymalizujące szerokość dla ich obwodu
Linki zewnętrzne
- Weisstein, Eric W. , „Największy mały wielokąt” , MathWorld
- Największy mały sześciokąt Grahama z Sali Sześciokątów