Następca porządkowy

W teorii mnogości następnikiem liczby porządkowej α jest najmniejsza liczba porządkowa większa od α . Liczbę porządkową, która jest następnikiem, nazywamy następnikiem porządkowym .

Nieruchomości

Każda liczba porządkowa inna niż 0 jest albo następnikiem porządkowym, albo granicznym porządkowym .

W modelu von Neumanna

Używając liczb porządkowych von Neumanna (standardowy model liczb porządkowych stosowanych w teorii mnogości), następnik S ( α ) liczby porządkowej α jest określony wzorem

${\ Displaystyle S (\ alfa) = \ alfa \ kubek \ {\ alfa \}.}$

Ponieważ kolejność liczb porządkowych jest dana przez α < β wtedy i tylko wtedy, gdy α ∈ β , od razu widać, że nie ma liczby porządkowej między α i S ( α ), i jest również jasne, że α < S ( α ) .

Dodatek porządkowy

Operacja następnika może być użyta do ścisłego zdefiniowania dodawania porządkowego poprzez rekurencję pozaskończoną w następujący sposób:

${\ Displaystyle \ alfa + 0 = \ alfa \!}$

${\ Displaystyle \ alfa + S (\ beta) = S (\ alfa + \ beta) }$

i dla granicy porządkowej λ

${\ Displaystyle \ alfa + \ lambda = \ bigcup _ {\ beta <\ lambda} (\ alfa + \ beta)}$

W szczególności S ( α ) = α + 1 . Mnożenie i potęgowanie są definiowane podobnie.

Topologia

Punkty następcze i zero są izolowanymi punktami klasy liczb porządkowych w odniesieniu do topologii porządku .

Zobacz też

• Arytmetyka porządkowa
• Limit porządkowy
• Następca kardynała