Nieelastyczna średnia droga swobodna

Nieelastyczna średnia droga swobodna ( IMFP ) jest wskaźnikiem tego, jak daleko elektron średnio przebywa w ciele stałym przed utratą energii.

Krzywa uniwersalna dla nieelastycznej średniej drogi swobodnej elektronu w elementach oparta na równaniu (5) w.

Jeśli monochromatyczna , pierwotna wiązka elektronów pada na stałą powierzchnię, większość padających elektronów traci swoją energię, ponieważ silnie oddziałują z materią , co prowadzi do wzbudzenia plazmonów , powstania pary elektron-dziura i wzbudzenia wibracyjnego. Intensywność elektronów pierwotnych $I$ $jest 0$ tłumiona w ciele stałym w funkcji odległości d . Spadek intensywności można wyrazić następująco:

{\ Displaystyle I (d) = I_ {0} \ e ^ {- d \ / \ lambda (E)}}

gdzie $I (d)$ jest natężeniem po przejściu pierwotnej wiązki elektronów przez ciało stałe na odległość $d$ . Parametr $λ(E)$ , określany jako nieelastyczna średnia droga swobodna (IMFP), jest definiowany jako odległość, jaką może pokonać wiązka elektronów, zanim jej intensywność spadnie do $1/ e$ wartości początkowej. (Zauważ, że to równanie jest ściśle związane z prawem Beera-Lamberta ).

Nieelastyczną średnią swobodną ścieżkę elektronów można z grubsza opisać za pomocą uniwersalnej krzywej, która jest taka sama dla wszystkich materiałów.

Znajomość IMFP jest niezbędna do wykonania szeregu pomiarów spektroskopii elektronowej i mikroskopii .

Zastosowania IMFP w XPS

Następnie IMFP jest wykorzystywany do obliczenia efektywnej długości tłumienia (EAL), średniej głębokości ucieczki (MED) i głębokości informacyjnej (ID). Poza tym IMFP można wykorzystać do wprowadzania poprawek macierzy dla względnego współczynnika czułości w ilościowej analizie powierzchni. Ponadto IMFP jest ważnym parametrem w symulacjach Monte Carlo transportu fotoelektronów w materii.

Obliczenia MFP

Obliczenia IMFP są w większości oparte na algorytmie (pełny algorytm Penna, FPA) opracowanym przez Penna, eksperymentalnych stałych optycznych lub obliczonych danych optycznych (dla związków). FPA uwzględnia nieelastyczne zdarzenie rozpraszania i zależność funkcji utraty energii (EFL) od przeniesienia pędu, która opisuje prawdopodobieństwo nieelastycznego rozproszenia jako funkcję przeniesienia pędu.

Eksperymentalne pomiary IMFP

Jedną z dobrze znanych metod pomiaru IMFP jest spektroskopia elektronów z pikiem sprężystym (EPES). Ta metoda mierzy intensywność elastycznie wstecznie rozproszonych elektronów o określonej energii z próbki materiału w określonym kierunku. Stosując podobną technikę do materiałów, których IMFP jest znany, pomiary są porównywane z wynikami symulacji Monte Carlo w tych samych warunkach. W ten sposób uzyskuje się IMFP określonego materiału w określonym widmie energetycznym. Pomiary EPES wykazują różnicę wartości skutecznej (RMS) między 12% a 17% w stosunku do teoretycznych wartości oczekiwanych. Obliczone i eksperymentalne wyniki wykazują większą zgodność dla wyższych energii.

Dla energii elektronów w zakresie 30 keV – 1 MeV, IMFP można zmierzyć bezpośrednio za pomocą spektroskopii strat energii elektronów w transmisyjnym mikroskopie elektronowym , pod warunkiem, że znana jest grubość próbki. Takie pomiary ujawniają, że IMFP w elementarnych ciałach stałych nie jest gładką, ale oscylacyjną funkcją liczby atomowej .

W przypadku energii poniżej 100 eV IMFP można ocenić w eksperymentach z wydajnością wysokoenergetycznych elektronów wtórnych (SEY). Dlatego analizowany jest SEY dla dowolnej energii padającej z zakresu od 0,1 keV do 10 keV. Zgodnie z tymi eksperymentami model Monte Carlo można wykorzystać do symulacji SEY i określenia IMFP poniżej 100 eV.

Formuły predykcyjne

Korzystając z formalizmu dielektrycznego, IMFP można obliczyć, rozwiązując następującą całkę: ${\ displaystyle \ lambda ^ {-1}}$

{\ Displaystyle \ lambda ^ {-1} = {\ Frac {1} {\ pi E}} \ int _ {\ omega _ {\ operatorname {min}}} ^ {\ omega _ {\ operatorname {max}} }\,d\omega \int _{k_{-}}^{k_{+}}\mathrm {Im} \left({\frac {-1}{\epsilon (k,\omega)}}\right )\,{\frac {dk}{k}}}

()

przy minimalnej (maksymalnej) utracie energii , $operatorname {min}}}$ { Displaystyle $\$ ${\ Displaystyle \ epsilon}$ , funkcja utraty energii (ELF) ${\ Displaystyle \ operatorname {Im} ({\ Frac {-1} {\ epsilon (k, \ omega )}})}$ oraz najmniejszy i największy transfer pędu ${\ Displaystyle k _ {\ pm} = {\ sqrt {2E}} \ pm {\ sqrt {2 (E- \ omega)}}}$ . Ogólnie rzecz biorąc, rozwiązanie tej całki jest dość trudne i dotyczy tylko energii powyżej 100 eV. Wprowadzono więc (pół)empiryczne wzory na wyznaczenie IMFP.

Pierwszym podejściem jest obliczenie IMFP za pomocą przybliżonej postaci relatywistycznego równania Bethe'ego dla nieelastycznego rozpraszania elektronów w materii. Równanie 2 obowiązuje dla energii między 50 eV a 200 keV:

{\ Displaystyle \ lambda ^ {- 1} = { \frac {\alpha (E)E}{E_{p}^{2}(\beta \ln {(\gamma \alpha (E)E)-(C/E)+(D/E)^{2 }})}}}

()

z

\ Displaystyle \ alfa (E) = {\ Frac {1 + { \frac {E}{2m_{e}c^{2}}}}{1+{\frac {E}{m_{e}c^{2}}}}}={\frac {1+{\ frac {E}{1021}}999.8}{(1+{\frac {E}{510}}998.9)^{2}}}}

I

{\ Displaystyle E_ {p} = 28,816 \ lewo ({\ Frac {N_ {\ nu} \ rho} {M}} \ prawej) ^ {0,5} (\ operatorname {eV} )}

a energia elektronów $eV$ powyżej poziomu Fermiego (przewodniki) lub powyżej dolnej części pasma przewodnictwa (nieprzewodniki). ${\ Displaystyle m_ {e}}$ to masa elektronu, ${\ displaystyle c}$ prędkość światła w próżni, to liczba elektronów walencyjnych na atom lub cząsteczkę, ${\ Displaystyle \ rho}$ ${\ Displaystyle N_ {\ nu}}$ opisuje gęstość (w ${\ Displaystyle \ operatorname {\ Frac {g} {cm ^ {3}}}}$ ), ${\ Displaystyle M}$ to masa atomowa lub cząsteczkowa i ${\ Displaystyle \ beta}$ , ${\ Displaystyle \ gamma}$ , ${\ Displaystyle C}$ i ${\ displaystyle D}$ to parametry określone w następujący sposób . Równanie 2 oblicza IMFP i jego zależność od energii elektronów w materii skondensowanej.

Równanie 2 zostało dalej rozwinięte, aby znaleźć relacje dla parametrów dla energii między 50 eV a 2 keV , $\ gamma}$ { $displaystyle$ , do {\ displaystyle $}$ i ${\ displaystyle D} :$

{\ Displaystyle \ beta = -1,0 + 9,44 / (E_ {p} ^ {2 }+E_{g}^{2})^{0,5}+0,69\rho ^{0,1}(\mathrm {eV^{-1}} \mathrm {nm^{-1}} )}

()

${\ Displaystyle \ gamma = 0,191 \ rho ^ {- 0,5} (\ operatorname {eV ^ {- 1}})}$
${\ Displaystyle C = 19,7-9,1 U (\ operatorname {nm ^ {- 1}})}$
${\ Displaystyle D = 534-208U (\ operatorname {eV} \ operatorname {nm ^ {- 1}})}$
${\ Displaystyle U = {\ Frac {N_ {\ nu} \ rho} {M}} = (E_ {p} / 28,816) ^ {2}}$

Tutaj energia pasma wzbronionego $w$ eV. Równania 2 i 3 są również znane jako równania TTP-2M i mają ogólne zastosowanie dla energii między 50 eV a 200 keV. Pomijając kilka materiałów (diament, grafit, Cs, sześcienny BN i sześciokątny BN), które nie są zgodne z tymi równaniami (z powodu odchyleń w ), $TTP$ -2M wykazują dokładną zgodność z pomiarami.

Innym podejściem opartym na równaniu 2 do określenia IMFP jest formuła S1. Ten wzór można zastosować dla energii od 100 eV do 10 keV:

{\ Displaystyle \ lambda ^ {- 1} = {\ Frac {(4 + 0,44 Z ^ {0,5} + 0,104 E^{0,872})a^{1,7}}{Z^{0,3}(1-W)}}}

z liczbą atomową $W$ średnia liczba atomowa związku), $\ Displaystyle W = 0,06H}$ lub ${\ Displaystyle W = 0,02E_ {g}}$ ( ${\ displaystyle H}$ to ciepło tworzenia związku w eV na atom) i średni odstęp między atomami: za $\ displaystyle a}$ :

{\ Displaystyle a ^ {3} = {\ Frac {10 ^ {21} M} {\ rho N_ {A} (g + h )}}(\mathrm {nm^{3}} )}

$_$ $związki$ Avogadro i współczynnikami $Displaystyle$ opisującymi $}$ . W tym przypadku liczba atomowa staje się

{\ Displaystyle Z = {\ Frac {gZ_ {g} + hZ_ {h}} {g + h}}}

z liczbami atomowymi i $displaystyle$ $Z_ {h}}$ dwóch Ta formuła S1 wykazuje większą zgodność z pomiarami w porównaniu z Równaniem 2 .

Obliczenie IMFP za pomocą formuły TTP-2M lub formuły S1 wymaga innej znajomości niektórych parametrów. Stosując formułę TTP-2M, trzeba znać $}}$ na prowadzenie materiałów (a także mi ${\ displaystyle$ } ${\ displaystyle \ rho}$ i $_ {\ nu}}$ $N$ dla nieprzewodników). Wykorzystując wzór S1, znajomość liczby atomowej (średnia liczba atomowa dla związków), $M$ $displaystyle M}$ i jest $przewodów$ . Jeśli brane są pod uwagę materiały nieprzewodzące, trzeba również wiedzieć, albo mi $}$ \ displaystyle ${g$

Wzór analityczny do obliczania IMFP do 50 eV został zaproponowany w 2021 r. W związku z tym do wzoru analitycznego pochodzącego już z 1 , który miał zastosowanie do energii do 500 eV, dodano składnik wykładniczy:

{\ Displaystyle \ lambda ^ {- 1} = {\ Frac {1}{2\pi a_{0}E}}\left(A\ln {\frac {4E}{I}}-{\frac {7C}{4E}}(1-\exp {(-AE /2C)})\prawo)}

()

Dla elektronów relatywistycznych zachodzi:

{\ Displaystyle \ lambda ^ {- 1} = {\frac {1}{\pi a_{0}v^{2}}}\left(A\ln {\frac {2v^{2}}{I}}-{\frac {7C}{2v^ {2}}}(1-\exp {(-Av^{2}/4C)})\right)}

()

z prędkością elektronu ${\ Displaystyle v}$ , ${\ Displaystyle v ^ {2} = c ^ {2} \ tau (\ tau + 2 ) / (\ tau + 1) ^ {2}}$ i ${\ Displaystyle \ tau = E/c ^ {2}}$ . ${\ displaystyle c}$ oznacza prędkość światła. ${\ Displaystyle \ lambda}$ i $podane w$ . Stałe w 4 i 5 są zdefiniowane w następujący sposób:

${\ Displaystyle A = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ operatorname {Im} \ lewo ({\ Frac {-1} {\ epsilon (\omega )}}\right)\,d\omega }$
${\ Displaystyle A \ ln {(I)} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ mathrm {Im} \left({\frac {-1}{\epsilon (\omega)}}\right)\ln {(\omega)}\,d\omega}$
${\ Displaystyle C = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ operatorname {Im} \ lewo ({\ Frac {-1} {\ epsilon (\omega)}}\right)\omega \,d\omega}$

dane IMFP

Dane IMFP można zbierać z bazy danych National Institute of Standards and Technology (NIST) Electron Inelastic-Mean-Free-Path Database lub NIST Database for the Simulation of Electron Spectra for Surface Analysis (SESSA). Dane zawierają IMFP wyznaczone przez EPES dla energii poniżej 2 keV. W przeciwnym razie IMFP można wyznaczyć ze wzoru TPP-2M lub S1.

Zobacz też