Nilsemigroup

W matematyce, a dokładniej w teorii półgrup , nilsemigrupa lub nilpotentna półgrupa to półgrupa, której każdy element jest nilpotentny .

Definicje

Formalnie półgrupa S jest nilsemigrupą, jeśli:

• 0 S zawiera i
• 0 dla każdego elementu a ∈ S istnieje dodatnia liczba całkowita k taka, że ​​a ^k = .

Skończone nilsemigrupy

Istnieją równoważne definicje dla skończonej półgrupy. Skończona półgrupa S jest nilpotentna, jeśli równoważnie:

• ${\ Displaystyle x_ {1} \ kropki x_ {n} = y_ {1} \ kropki y_ {n}}$ dla każdego ${\ Displaystyle x_ { ja}, y_ {i} \ in S}$ , gdzie ${\ displaystyle n}$ jest licznością S .
• Zero jest jedynym idempotentem S .

Przykłady

Trywialna półgrupa pojedynczego elementu jest trywialnie nilsemigrupą.

Zbiór ściśle górnej trójkątnej macierzy , z mnożeniem macierzy jest nilpotentny.

Niech ${\ Displaystyle I_ {n} = [a, n]}$ ograniczony przedział dodatnich liczb rzeczywistych. Dla x , y należących do $+$ , $}$ ) { . Pokażemy teraz, że ${\ Displaystyle \ langle I, \ star _ {n} \ rangle}$ to grupa nilsemi, której zero to n . Dla każdej liczby naturalnej k , kx jest równe ${\ Displaystyle \ min (kx, n)}$ . Dla k co najmniej równego ${\ Displaystyle \ lewo \ lceil {\ Frac {nx} {x}} \ prawo \ rceil}$ , kx równa się n . Ten przykład uogólnia dla dowolnego ograniczonego przedziału an Półgrupa uporządkowana przez Archimedesa .

Nieruchomości

Nietrywialna grupa nilsemi nie zawiera elementu tożsamości. Wynika z tego, że jedynym monoidem nilpotentnym jest monoid trywialny.

Klasa nilsemigrup to:

• zamknięte na podgrupy
• domknięty na podstawie ilorazów
• zamknięte pod iloczynami skończonymi
• ale nie jest zamknięty w ramach dowolnego iloczynu bezpośredniego . $_ rangle }$ półgrupę , gdzie ${\ Displaystyle \ langle I_ {n}, \ gwiazda _ {n} \ rangle}$ jest zdefiniowany jak powyżej. Półgrupa S jest bezpośrednim produktem nilsemigroups, jednak nie zawiera elementu nilpotent.

Wynika z tego, że klasa nilsemigrup nie jest odmianą algebry uniwersalnej . Jednak zbiór skończonych półgrup nilsemi jest rozmaitością skończonych półgrup . Różnorodność $_$ _

• Pin, Jean-Éric (2018-06-15). Matematyczne podstawy teorii automatów (PDF) . P. 198.
•   Kratka, Pensylwania (1995). Półgrupy . CRC Naciśnij . P. 110. ISBN 978-0-8247-9662-4 .