Hałas

Noiselety to funkcje, które dają najgorsze zachowanie dla analizy pakietów falkowych Haara. Innymi słowy, szumy są całkowicie nieściśliwe w analizie pakietów falkowych Haara. Podobnie jak bazy kanoniczne i bazy Fouriera, które mają niespójną właściwość, szumy są całkowicie niespójne z bazą Haara. Ponadto mają szybki algorytm implementacji, dzięki czemu są przydatne jako podstawa próbkowania dla sygnałów, które są rzadkie w domenie Haara.

Definicja

Funkcja baz macierzystych jest zdefiniowana jako: ${\ Displaystyle \ chi (x)}$

${\ Displaystyle \ chi (x) = {\ rozpocząć {przypadki} 1 i x \ w [0,1) \\ 0 i {\ tekst {inaczej}} \ koniec { sprawy}}}$

Rodzina szumów jest zbudowana rekurencyjnie w następujący sposób:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane dat} {2} f_ {1} (x) & = \ chi (x) \ \f_{2n}(x)&=(1-i)f_{n}(2x)+(1+i)f_{n}(2x-1)\\f_{2n+1}(x)&= (1+i)f_{n}(2x)+(1-i)f_{n}(2x-1)\koniec{dopasowany do}}}$

Własność f _n

• ${\ Displaystyle \ {f_ {j} | j = 2 ^ {N}, \ kropki, 2 ^ {N + 1} -1 \}} jest$ ortogonalne podstawa dla , gdzie ${\ displaystyle V_ {N}$$} jest$ rozdzielczości ${\ displaystyle 2 ^ {N}}$ funkcji w ${\ Displaystyle L ^ {2} [0,1)}$ .
• dla każdego ${\ Displaystyle n \ geq 1}$ , ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} f_ {n} (x) dx = 1}$

Matrycowa konstrukcja szumów

Noiselet można rozszerzyć i zdyskretyzować. Funkcja rozszerzona jest zdefiniowana następująco: ${\ Displaystyle f_ {m} (k, l)}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {2} f_ {m} (1, l) & = {\ rozpocząć {przypadki} 1 i l = 0, \ kropki, 2 ^ {m} -1 \\ 0 & {\ tekst { inaczej}}\end{przypadki}}\\f_{m}(2k,l)&=(1-i)f_{m}(k,2l)+(1+i)f_{m}(k,2l -2^{m})\\f_{m}(2k+1,l)&=(1+i)f_{m}(k,2l)+(1-i)f_{m}(k,2l -2^{m})\\\koniec{wyrównanydat}}}$

Użyj rozszerzonego szumu ${\ Displaystyle f_ {m} (k, l)}$$} }$ możemy wygenerować macierz szumów $\ razy n$ , gdzie n jest potęgą dwóch ${\ Displaystyle n = 2 ^ {q}}$ :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane dat} {2} N_ {1} i = [1] \\N_{2n}&={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1-i&1+i\\1+i&1-i\end{bmatrix}}\czasami N_{n}\\ \end{wyrównanydat}}}$

Tutaj ${\ displaystyle \ otimes}$ oznacza produkt Kroneckera.

Załóżmy, że ${\ Displaystyle 2 ^ {m}> n}$ , możemy stwierdzić, że jest równe ${\ Displaystyle f_ {m} (n + k, {\ Frac {2 ^ {m}} {n}} l)}$${\ Displaystyle N_ {n} (k, l$ .

Elementy macierzy szumów przyjmują dyskretne wartości z jednego z dwóch czteroelementowych zestawów:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane dat} {3} {\ sqrt {n}} N_ {n} (j, k) i \ w \ {1, -1, i, -i \} i {\ tekst { dla parzystych }}q\\{\sqrt {2n}}N_{n}(j,k)&\in \{1+i,1-i,-1+i,-1-i\}&{\ text{dla nieparzystego }}q\\\end{wyrównanydat}}}$

Transformacja szumu 2D

Transformacje szumu 2D są uzyskiwane za pomocą iloczynu Kroneckera z transformacji szumu 1D:

${\ Displaystyle N_ {n \ razy k} ^ {2D} = N_ {k} \ czasami N_ {n}}$

Aplikacje

Noiselet ma pewne właściwości, które czynią je idealnymi do zastosowań:

• Macierz szumów można wyprowadzić w ${\ Displaystyle O (n \ log n)}$ .
• Noiselet całkowicie rozłożył widmo i ma doskonale niespójne z falkami Haara.
• Noiselet jest sprzężony symetrycznie i jest unitarny.

Komplementarność falek i szumów oznacza, że ​​szumy mogą być używane w skompresowanym wykrywaniu do rekonstrukcji sygnału (takiego jak obraz), który ma zwartą reprezentację w falkach. Dane MRI można uzyskać w domenie szumu, a następnie obrazy można zrekonstruować z danych niedopróbkowanych za pomocą rekonstrukcji z wykrywaniem kompresji.