Ograniczona zasada wszechwiedzy

W matematyce konstruktywnej ograniczona zasada wszechwiedzy ( LPO ) i mniejsza ograniczona zasada wszechwiedzy ( LLPO ) są aksjomatami , które nie są konstruktywne, ale są słabsze niż pełne prawo wyłączonego środka ( Bridges i Richman 1987 ). Aksjomaty LPO i LLPO służą do oceny ilości niekonstruktywności wymaganej dla argumentu, jak w konstruktywnej matematyce odwrotnej . Są one również związane ze słabymi kontrprzykładami w sensie Brouwera .

Definicje

Ograniczona zasada wszechwiedzy stwierdza ( Bridges i Richman 1987 , s. 3):

LPO : Dla dowolnej sekwencji $,$ za $\ Displaystyle a_ {1}}$ ... takiej, że każda jest albo ${\ displaystyle a_ {i}}$ albo $za {\ displaystyle a_ {i}}$$\ Displaystyle 1}$ , obowiązuje: albo $= 1$ wszystkich $ja = {\$ jest $Displaystyle a_ {$ za ${\ displaystyle a_ {k} = 1}$ .

Mniejsza ograniczona zasada wszechwiedzy stwierdza:

LLPO : Dla $,$ sekwencji , $\ Displaystyle a_ {1}}$ ... takiej, że każda jest albo ${\ displaystyle a_ {i}} albo za$${\ displaystyle a_ {0}$ } ${\ displaystyle 1}$ i tak, że co najwyżej jeden $dla$ różny od zera, obowiązuje: albo ${\ displaystyle a_ {2i} = 0}$ wszystkich $}} styl wyświetlania i}$ lub ${\ Displaystyle a_ {2i + 1} = 0}$ dla wszystkich $i$ gdzie ${\ Displaystyle a_ {2i}}$ za $\ Displaystyle a_ { 2i+1}}$ to wpisy odpowiednio z parzystym i nieparzystym indeksem.

Można konstruktywnie udowodnić, że prawo wyłączonego środka implikuje LPO, a LPO implikuje LLPO. Jednak żadnej z tych implikacji nie można odwrócić w typowych systemach matematyki konstruktywnej.

Termin „wszechwiedza” pochodzi z eksperymentu myślowego dotyczącego tego, jak matematyk może stwierdzić, który z dwóch przypadków we wniosku LPO zachodzi dla danej sekwencji ( za $Displaystyle (a_ {i})}$ . $a_ {k} = 1$ na pytanie „czy istnieje za $Displaystyle$ ?” negatywnie, zakładając, że odpowiedź jest negatywna, wydaje się wymagać zbadania całej sekwencji. Ponieważ wymagałoby to zbadania nieskończenie wielu terminów, aksjomat stwierdzający, że można to ustalić, został nazwany przez Bishopa „zasadą wszechwiedzy” ( 1967 ) .

Wersje analityczne

Obie zasady mają analogiczne właściwości liczb rzeczywistych. Analityczny LPO stwierdza, że ​​każda liczba rzeczywista spełnia trytochtomię lub ${\$$displaystyle x = 0}$ lub $displaystyle x> 0$ . Analityczny LLPO stwierdza, że ​​​​każda liczba rzeczywista spełnia dytochtomię lub $Displaystyle x \ leq 0} , podczas$$\$ analityczna zasada Markowa stwierdza, ​​​​jeśli ${\ Displaystyle x \ geq 0}$ jest fałszem, więc ${\ Displaystyle x <0}$ .

Jeśli założyć, że wszystkie trzy zasady analityczne obowiązują dla liczb rzeczywistych Dedekinda lub Cauchy'ego, implikują ich wersje arytmetyczne, podczas gdy sytuacja odwrotna jest prawdziwa, jeśli założymy (słaby) policzalny wybór, jak pokazano w Bishop (1967) .

•   Biskup, Errett (1967). Podstawy konstruktywnej analizy . ISBN 4-87187-714-0 .
•   Mosty, Douglas; Richman, Fred (1987). Odmiany konstruktywnej matematyki . ISBN 0-521-31802-5 .

Linki zewnętrzne

• „Matematyka konstruktywna” autorstwa Douglasa Bridgesa w Stanford Encyclopedia of Philosophy