Opcja na zrealizowaną zmienność

W finansach opcja na zrealizowaną zmienność (lub opcja zmienności ) jest podklasą pochodnych papierów wartościowych, w których funkcja wypłaty zawiera pojęcie rocznej zrealizowanej zmienności określonego składnika aktywów bazowych, którym może być indeks giełdowy, obligacja, kurs walutowy itp. Inny produkt pochodnej zmienności, który jest szeroko przedmiotem obrotu, odnosi się do swapu zmienności , czyli innymi słowy kontraktu terminowego forward na przyszłą zrealizowaną zmienność.

Długa pozycja opcji zmienności, podobnie jak opcja waniliowa, ma prawo, ale nie obowiązek, wymiany rocznej zrealizowanej zmienności z pozycją krótką po uzgodnionej cenie (uderzenie zmienności) w określonym z góry momencie w przyszłości (data wygaśnięcia) . Wypłata jest zwykle rozliczana w gotówce o pewną kwotę referencyjną. Tym, co odróżnia tę umowę finansową od zwykłych opcji, jest to, że miara ryzyka jest niezależna od zwrotu z aktywów, ale odnosi się wyłącznie do zmienności cen. W rezultacie handlowcy mogą używać go jako narzędzia do spekulacji na temat zmian zmienności cen w celu zabezpieczenia swoich pozycji w portfelu bez podejmowania ryzyka kierunkowego poprzez utrzymywanie aktywów bazowych.

Definicje

Zrealizowana zmienność

W praktyce roczna zrealizowana zmienność jest interpretowana w próbie dyskretnej jako pierwiastek kwadratowy rocznej zrealizowanej wariancji. Mianowicie $2}}, \ kropki, S_ {t_ {n}}}$ jeśli istnieją punkty próbkowania cen bazowych, mówi $2$ ${0}}, S_ {t_$ obserwowane w czasie ${\ displaystyle t_ {i}}$ gdzie ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik t_ {i-1 <t_ {i} \ równoważnik T}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle i = 1,2, \ ldots, n }$ , wówczas roczna zrealizowana wariancja jest wyceniana przez

{\ Displaystyle RV_ {d}: = {\ Frac {A} {n}} \ suma _ {i = 1}^{n}\ln ^{2}{\Duży (}{\frac {S_{t_{i}}}{S_{t_{i-1}}}}{\Duży)}}

Gdzie

${\ displaystyle A}$ jest współczynnikiem rocznym, powszechnie wybieranym jako ${\ displaystyle A = 252}$ , jeśli cena jest monitorowana codziennie, lub ${\ displaystyle A = 52}$ lub ${\ displaystyle A} =12}$ odpowiednio w przypadku obserwacji tygodniowej lub miesięcznej oraz
${\ displaystyle T}$ to data wygaśnięcia opcji, która jest równa liczbie ${\ Displaystyle n / {A}.}$

Dzięki temu ustawieniu mamy wtedy $roczną$ zmienność

Ponadto, gdy liczba obserwacji wzrośnie do $nieskończoności$ , dyskretnie zdefiniowana zrealizowana zmienność zbiega się pod względem prawdopodobieństwa do pierwiastka kwadratowego z kwadratowej zmienności aktywów bazowych, tj. n {\ displaystyle n

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} {\ sqrt {RV_ {d}}} = {\ sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma (s)\,ds}}=:{\sqrt {RV_{c}}}}

co ostatecznie definiuje wersję z ciągłym próbkowaniem zrealizowanej zmienności. Może się okazać, że do pewnego stopnia wygodniejsze jest stosowanie tego zapisu do wyceny instrumentów pochodnych zmienności. Jednak rozwiązanie jest tylko przybliżoną postacią rozwiązania dyskretnego, ponieważ kontrakt jest zwykle kwotowany w próbie dyskretnej.

Wypłaty opcji zmienności

Jeśli ustalimy

$\ Displaystyle K _ {\ text {vol}} ^ {C}}$ być uderzeniem zmienności i

$rocznym$ hipotetyczną kwotą opcji w jednostce pieniężnej, mówi, USD lub GBP w ujęciu punkt zmienności,

wtedy wypłaty w momencie wygaśnięcia opcji kupna i sprzedaży zapisanych na (lub po prostu opcja kupna i sprzedaży zmienności) są ${\ Displaystyle {\ sqrt {RV_ {(\ cdot)}}}}$

\ Displaystyle \ lewo ({\ sqrt {RV_ {(\ cdot)}}} - K _ {\ tekst {tom}} ^ {C} \ prawo) ^ {+}\razy L}

I

\ Displaystyle \ lewo (K _ {\ tekst {tom}} ^ {C} - {\ sqrt {RV_ {(\ cdot)}}} \ prawo) ^ {+}\razy L}

odpowiednio, gdzie ${\ Displaystyle {\ sqrt {RV_ {(\ cdot)}}} = {\ sqrt {RV_ {d}}}},$ jeśli zrealizowana zmienność jest dyskretnie próbkowana i ${\ Displaystyle {\ sqrt {RV_ {(\ cdot)}}} = {\ sqrt {RV_ {c}}}},$ jeśli jest to próbkowanie ciągłe. Aby dostrzec ich obecne wartości, wystarczy obliczyć jedną z nich, ponieważ druga jest jednocześnie uzyskiwana przez pomocniczą parytetu kupna .

Wycena i wycena

$bazowych$ cena aktywów ryzyku- neutralne prawdopodobieństwo i rozwiązuje następujące zmieniające się w czasie równanie Blacka-Schloesa: ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

{\ Displaystyle {\ Frac {dS_ {t}} {S_ {t}}} = r (t) \, dt + \sigma (t)\,dW_{t},\;\;S_{0}>0}

Gdzie:

${\ Displaystyle r (t) \ in \ mathbb {R}}$ jest (zmienną w czasie) wolną od ryzyka stopą procentową,
${\ Displaystyle \ sigma (t)> 0}$ to (zmienna w czasie) zmienność cen i
${\ Displaystyle W = (W_ {t}) _ {0 \ równoważnik t \ równoważnik T}}$ jest ruchem Browna w filtrowanej przestrzeni prawdopodobieństwa ${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {F}, \ mathbb {Q})} gdzie fa$ = $Displaystyle \ mathbb {F} = ({{ \mathcal {F}}_{t})_{0\równoważnik t\równoważnik T}}$ jest naturalną filtracją ${\ Displaystyle W}$ .

Wtedy uczciwą cenę wywołania wariancji w czasie oznaczoną przez do $displaystyle C_ {t_ {0}} ^ {\ tekst {tom}}}$ $\$ można uzyskać przez do t { \ displaystyle

{\ Displaystyle C_ {t_ {0}} ^ {\ nazwa operatora {tom}}: = e ^ {- \ int _ {t_ {0}} ^ {T} r (s) \, ds} \ nazwa operatora {E} ^{\mathbb {Q}}\left[\left({\sqrt {RV_{(\cdot)}}}-K_{\operatorname {vol}}^{C}\right)^{+}\mid { \mathcal {F}}_{t_{0}}\right],}

mi ${\ Displaystyle \ operatorname {E} ^ {\ mathbb {Q}} [X \ mid {\ mathcal {F}} _ {t_ {0}}]} reprezentuje$ warunkowe zmiennej $względem$ $.$ odniesieniu do $prawdopodobieństwa$ ryzyka Rozwiązanie dla $\ Displaystyle C_ {t_ {0}} ^ {\ operatorname {vol}}}$ $funkcję$ wyprowadzić analitycznie, jeśli dostrzeże się gęstości prawdopodobieństwa za pomocą takich jak metody Monte Carlo .

Analityczna wycena opcji zmienności z dyskretnym próbkowaniem ze zmienną w czasie stopą procentową wolną od ryzyka i stałą zmiennością ceny

$i$ $,$ zmienność jest dyskretnie próbkowana ze zmienną w czasie stopą procentową wolną od ryzyka stałą Rujivan Rakwongwan (2021) pokazuje, że możemy wykorzystać właściwość niecentralnego rozkładu chi wraz z procedurą analogiczną do procedury Blacka-Scholesa ${\ displaystyle {\ sqrt {RV_ {d}}}}$ wyprowadzenie opcji europejskich na akcje, aby uzyskać analityczną formułę wyceny dla do $\ displaystyle C_ {t_ {0}} ^ {\ operatorname {vol}}}$ .

To znaczy, jeśli najpierw zdefiniujemy

${\ Displaystyle \ mu _ {i}: = \ int _ {t_ {i-1}} ^ {t_ {i}} r (s) \, ds - {\ Frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ Delta t,}$

${\ Displaystyle \lambda :={\frac {\sqrt {\suma _{i=0}^{n}\mu _{i}^{2}}}{\sigma {\sqrt {\Delta t}}}}, }$

${\ Displaystyle \ beta: = \ sigma {\ sqrt {\ Frac {\ Delta t} {T}}} \ razy 100 \; \;} i$ Δ

${\ Displaystyle \ Delta t: = t_ {i} -t_ {i-1}}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle i = 0,1, \ ldots, n}$

wtedy formuła wyceny w formie zamkniętej dla wywołania zmienności ma postać

{\ Displaystyle C_ {t_ {0}} ^ {\ nazwa operatora {tom}} = e ^ {- \ int _ {t_ {0}} ^ {T} r (s) \, ds} \ nazwa_operatora {E} ^{\mathbb {Q}}[({\sqrt {RV_{d}}}-K_{\nazwa_operatora {vol}}^{C})^{+}\mid {\mathcal {F} }_{t_{0}}]=e^{-\int _{t_{0}}^{T}r(s)\,ds}(K_{\operatorname {vol} _{j}}-K_ {\nazwa operatora {tom}}^{C}+I_{\nazwa operatora {tom} _{j}})}

dla ${\ Displaystyle j = 1,2}$ zindeksowałem przypadki ${\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {n} \ mu _ {i} ^ {2 }> 0}$ i ${\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {n} \ mu _ {i} ^ {2} = 0}$ odpowiednio, gdzie

${\ Displaystyle K _ {\ nazwa operatora {tom} _ {1}}: = \ sigma {\ sqrt {\frac {\pi \Delta t}{2}}}{\textbf {L}}_{\frac {1}{2}}^{({\frac {n}{2}}-1)} {\Big (}-{\frac {\lambda ^{2}}{2}}{\Big)}\times {\sqrt {\frac {A}{n}}}\;\;}$ i

${\ Displaystyle K _ {\ nazwa operatora {tom} _ {2}}: = \ sigma {\ sqrt {2 \ Delta t}} {\ Frac {\ Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\times {\sqrt {\frac {A}{n}}}}$

reprezentują uczciwą cenę wykonania swapu zmienności ,

$\ Displaystyle I _ {\ nazwa operatora {tom} _ {1}} :=\int _{0}^{K_{\operatorname {vol.} }^{C}}(K_{\operatorname {vol}}^{C}-y){\frac {1}{\beta ^{ 2}}}f_{1,{\sqrt {Y}}}{\Duża (}{\frac {y}{\beta ^{2}}}:n,\lambda {\Duża)}dy,}$

${\ Displaystyle I _ {\ nazwa operatora {tom} _ {2}}: = \$

${\ Displaystyle f_ {1, {\ sqrt {Y}}} (y ;n,\lambda ):={\frac {e^{-{\frac {y^{2}+\lambda ^{2}}{2}}}y^{n}\lambda }{(\lambda y) ^ {\frac {n}{2}}}}{\textbf {I}}_{{\frac {n}{2}}-1}(\lambda y),}$

${\ Displaystyle f_ {2, {\ sqrt {Y}}} (r; n): = {\ Frac {y ^{n-1}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}}{2^{\frac {n-2}{2}}\Gamma ({\frac {n} {2}})}}}$ ,

${\ Displaystyle {\ textbf {L}} _ {\ nu} ^ {(\ alfa)} (x) = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {k } (\ alfa + \ nu)! x ^ {k}} {(\ nu -k)! (\ alfa + k)! k!}}} jest funkcją Laguerre'a z parametrem i ułamkiem α$ { \ displaystyle \ $}$ porządek ${\ Displaystyle \ nu}$ ,

${\ Displaystyle {\ textbf {I}} _ {\ nu} (x): = {\ Frac {x} {2}} \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty }{\frac {({\frac {x^{2}}{4}})^{k}}{k!\Gamma (\nu +k+1)}}} jest zmodyfikowaną$ funkcją Bessela pierwszego rodzaj z $)$ Γ

$_$ _ funkcja gamma .

Powyższe wyrażenie podaje formułę cenową w formie zamkniętej dla opcji zmienności, która jest preferowana dla praktyków, ponieważ nie są wymagane żadne zadania obliczeniowe. Jednak działa to tylko w przypadku deterministycznej stopy procentowej i stałej zmienności cen, która jest w niewielkim stopniu zgodna z rzeczywistym rynkiem, gdzie oba parametry okazały się procesami stochastycznymi. Niestety, obecnie nie ma opublikowanego wzoru obejmującego tak szeroki model, co pozostawia intrygujący temat do badań i rozwoju instrumentów pochodnych zmienności.

Zobacz też