Optymalizacja wektorów

Optymalizacja wektorowa to podobszar optymalizacji matematycznej , w którym problemy optymalizacyjne z funkcjami celu o wartościach wektorowych są optymalizowane w odniesieniu do zadanego uporządkowania częściowego i podlegają pewnym ograniczeniom. Problem optymalizacji wielokryterialnej jest szczególnym przypadkiem problemu optymalizacji wektorowej: Przestrzeń celu to skończenie wymiarowa przestrzeń euklidesowa częściowo uporządkowana przez składowe uporządkowanie „mniejsze lub równe”.

Sformułowanie problemu

W kategoriach matematycznych problem optymalizacji wektorów można zapisać jako:

${\ Displaystyle C \ nazwa operatora {-} \ min _ {x \ w S} f (x)}$

gdzie ${\ displaystyle f: X \ do Z}$ dla częściowo uporządkowanej przestrzeni wektorowej ${\ displaystyle Z}$ . Częściowe uporządkowanie jest wywoływane przez stożek do $Displaystyle C \ subseteq Z}$ . ${\ displaystyle X}$$.$ dowolnym zbiorem i zestawem wykonalnym

Koncepcje rozwiązań

Istnieją różne pojęcia minimalizmu, między innymi:

• ${x}} \ in S}$$fa$${\ Displaystyle f (x) -f ({\ bar {x}}) \ nie \ w - \ operatorname {int} C}$ wydajnym punktem (słaby minimalizator), jeśli dla każdego ma się .
• ${\ Displaystyle {\ bar {x}} \ in S}$ jest efektywnym punktem (minimizerem), jeśli dla każdego ${\ Displaystyle x \ in S}$ jeden ma ${\ Displaystyle f (x) -f ({\ bar {x}}) \ nie \ w -C \ ukośnik odwrotny \ {0 \}}$ .
• ${\ Displaystyle {\ bar {x}} \ in S}$ jest odpowiednio wydajnym punktem (właściwy minimalizator), jeśli ${\ Displaystyle {\ bar {x}}}$ jest słabo wydajnym punktem względem a zamknięty spiczasty wypukły stożek do ${\ Displaystyle {\ tylda {C}}}$ gdzie do $}}}$$\ {0 \} \ subseteq \ operatorname {int} {\ tylda {$ .

Każdy właściwy minimalizator jest minimalizatorem. A każdy minimalizator jest słabym minimalizatorem.

Współczesne koncepcje rozwiązań składają się nie tylko z koncepcji minimalizmu, ale także uwzględniają osiągnięcie maksymalnego poziomu .

Metody rozwiązania

• Algorytm Bensona dla problemów optymalizacji wektorów liniowych .

Związek z optymalizacją wielokryterialną

Każdy wielokryterialny problem optymalizacyjny można zapisać jako

${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {d} \ nazwa operatora {-} \ min _ {x \ w M} f (x)}$

gdzie $R} ^ {d}}$ { i ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {d}}$ ujemny ortant z ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ . Zatem minimalizatorem tego problemu optymalizacji wektorów są efektywne punkty Pareto.