Optymalne oszacowanie

W statystyce stosowanej estymacja optymalna jest metodą odwrotnej macierzy uregulowanej , opartą na twierdzeniu Bayesa . Jest bardzo powszechnie stosowany w naukach o Ziemi , szczególnie do sondowania atmosfery . Odwrotny problem macierzowy wygląda następująco:

${\ Displaystyle \ mathbf {A} {\ vec {x}} = {\ vec {y}}}$

Podstawową koncepcją jest przekształcenie macierzy A w prawdopodobieństwo warunkowe i zmiennych w rozkłady prawdopodobieństwa przez ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$ i ${\ displaystyle {\ vec {y}}}$ zakładając statystyki Gaussa i używając empirycznie określonych macierzy kowariancji.

Pochodzenie

Zazwyczaj oczekuje się, że statystyki większości pomiarów będą gaussowskie . Na przykład dla możemy napisać: ${\ Displaystyle P ({\ vec {y}} | {\ vec {x}})}$

${\ Displaystyle P ({\ vec {y}} | {\ vec {x}}) = {\ Frac {1} {(2 \ pi) ^ {mn / 2} | {\ boldsymbol {S_ {y}} }|}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}({\boldsymbol {A}}{\vec {x}}-{\vec {y}})^{T}{\ boldsymbol {S_{y}}}^{-1}({\boldsymbol {A}}{\vec {x}}-{\vec {y}})\right]}$

gdzie m i n to liczby elementów odpowiednio ${x}}}$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$ i ${\ Displaystyle {\ vec {y}}}$ ZA jest macierzą do rozwiązania (liniowy lub zlinearyzowany model do przodu), a $}$$}$ { ${\ vec {y}$ . Można to zrobić podobnie dla ${\ Displaystyle {\ vec {x}}}$ :

${\ Displaystyle P ({\ vec {x}}) = {\ Frac {1} (2\pi )^{m/2}|{\boldsymbol {S_{x_{a}}}}|}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}({\vec {x }}-{\widehat {x_{a}}})^{T}{\boldsymbol {S_{x_{a}}}}^{-1}({\vec {x}}-{\widehat {x_ {poprawnie]}$

Tutaj $x$ się, że jest to tak zwany rozkład „a-priori”: $}$$a}}$$}$ oznacza wartości a priori dla $gdy$ jego .

Zaletą rozkładów Gaussa jest to, że do ich opisania potrzebne są tylko dwa parametry, dzięki czemu cały problem można ponownie przekształcić w macierze. Zakładając, że przyjmuje następującą postać ${\ Displaystyle P ({\ vec {x}} | {\ vec {y}})}$

${\ Displaystyle P ({\ vec {x}} | {\ vec {y}}) = {\ Frac {1} {(2 \ pi) ^ {mn / 2} | {\ boldsymbol {S_ {x}} }|}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}({\vec {x}}-{\widehat {x}})^{T}{\boldsymbol {S_{x}} }^{-1}({\vec {x}}-{\szeroki kapelusz {x}})\right]}$

$}})}$$vec {$ można pominąć, ponieważ dla danej wartości jest to po prostu stały termin . $Teraz$ możliwe jest rozwiązanie zarówno dla wartości oczekiwanej $zrównanie$ dla macierzy kowariancji przez ${\ Displaystyle P ({\ vec {x}} | {\ vec {y}})}$ i ${\ Displaystyle P ({\ vec {y}} | { \vec {x}})P({\vec {x}})}$ . Daje to następujące równania:

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {S_ {x}}} = ({\ boldsymbol {A}} ^ {T} {\ boldsymbol { S_{y}^{-1}}}{\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {S_{x_{a}}^{-1}}})^{-1}}$

${\ Displaystyle {\ widehat {x}} = {\ widehat {x_ {a}}} + {\ boldsymbol {S_ {x}}} {\ boldsymbol {A}} ^ {T} {\ boldsymbol {S_ {y}}}^{-1}({\vec {y}}-{\boldsymbol {A}}{\widehat {x_{a}}})}$

Ponieważ używamy Gaussów, oczekiwana wartość jest równoważna maksymalnej prawdopodobnej wartości, a więc jest to również forma oszacowania maksymalnego prawdopodobieństwa .

Zazwyczaj przy optymalnym oszacowaniu, oprócz wektora pobranych wielkości, zwracana jest jedna dodatkowa macierz wraz z macierzą kowariancji. Jest to czasami nazywane macierzą rozdzielczości lub jądrem uśredniającym i jest obliczane w następujący sposób:

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {R}} = ({\ boldsymbol {A}} ^ {T} \boldsymbol {S_{y}}}^{-1}{\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {S_{x_{a}}}}^{-1})^{-1}{\boldsymbol { A}}^{T}{\boldsymbol {S_{y}}}^{-1}{\boldsymbol {A}}}$

Mówi nam to, dla danego elementu pobranego wektora, ile innych elementów wektora jest zmieszanych. W przypadku wyszukiwania informacji o profilu, typowo wskazuje rozdzielczość wysokości dla danej wysokości. Na przykład, jeśli wektory rozdzielczości dla wszystkich wysokości zawierają elementy niezerowe (z tolerancją liczbową) w swoich czterech najbliższych sąsiadach, wówczas rozdzielczość wysokości wynosi tylko jedną czwartą rzeczywistego rozmiaru siatki.

• Clive D. Rodgers (1976). „Odzyskiwanie temperatury i składu atmosfery ze zdalnych pomiarów promieniowania cieplnego”. Recenzje geofizyki i fizyki kosmicznej . 14 (4): 609. doi : 10.1029/RG014i004p00609 .

• Clive D. Rodgers (2000). Odwrotne metody sondowania atmosferycznego: teoria i praktyka . Świat naukowy.

• Clive D. Rodgers (2002). „Teledetekcja atmosferyczna: problem odwrotny”. Proceedings of the Fourth Oxford / RAL Spring School in Quantitative Earth Observation . Uniwersytet Oksfordzki.