Półliniowa odpowiedź

Napędzanie indukuje przejścia między poziomami układu zamkniętego, prowadząc do dyfuzji w przestrzeni energetycznej, a co za tym idzie, do ogrzewania. Współczynnik dyfuzji można obliczyć za pomocą analogii sieci rezystorów.

Teoria odpowiedzi półliniowej (SLRT) jest rozszerzeniem teorii odpowiedzi liniowej (LRT) dla okoliczności mezoskopowych : LRT ma zastosowanie, jeśli napędzane przejścia są znacznie słabsze / wolniejsze niż efekt relaksacji / odfazowania środowiska, podczas gdy SLRT zakłada przeciwne warunki. SLRT wykorzystuje analogię sieci rezystorów (patrz ilustracja) w celu obliczenia szybkości pochłaniania energii: sterowanie indukuje przejścia między poziomami energii, a połączone sekwencje przejść są niezbędne, aby uzyskać niezanikający wynik, jak w teorii przesiąkanie.

Aplikacje

Pierwotną motywacją do wprowadzenia SLRT były badania przewodnictwa mezosopowego. Termin SLRT został ukuty tam, gdzie został zastosowany do obliczenia pochłaniania energii przez ziarna metaliczne. Później teorię tę zastosowano do analizy szybkości nagrzewania się atomów w pułapkach wibracyjnych.

Definicja odpowiedzi semiliniowej

Rozważmy system, który jest napędzany przez źródło $\ Displaystyle {\ tylda {S}} (\$ ma widmo mocy. ${$ . Ta ostatnia jest zdefiniowana jako transformata Fouriera ${\ Displaystyle \ langle f (t) f (0) \ rangle}$ . W teorii odpowiedzi liniowej (LRT) źródło napędzające indukuje stan ustalony, który tylko nieznacznie różni się od stanu równowagi. W takich okolicznościach odpowiedź ( ) jest liniowym funkcjonałem widma mocy: ${\ displaystyle G}$

${\ Displaystyle G = G [{\ tylda {S}} (\ omega)] = \ int _ { -\infty }^{\infty}\eta (\omega){\tylda {S}}(\omega)\,d\omega}$

$ją$ tradycyjnym kontekście LRT $reprezentuje$ , a można zdefiniować jako współczynnik Ilekroć taka relacja ma zastosowanie

${\ Displaystyle [A] \ \ \ \ {\ tylda {S}} (\ omega) \ mapsto \ lambda {\ tylda {S }}(\omega ){\text{ implikuje }}G\mapsto \lambda G}$

${\ Displaystyle [B] \ \ \ \ {\ tylda {S}} (\ omega) \ mapsto {\ tylda {S}} _ {1} (\ omega) + {\ tylda {S}}_{2}(\omega){\text{implikuje}}G\mapsto G_{1}+G_{2}}$

Jeśli sterowanie jest bardzo silne, odpowiedź staje się nieliniowa, co oznacza, że ​​obie właściwości [A] i [B] nie są spełnione. Istnieje jednak klasa systemów, których odpowiedź staje się półliniowa, tj. pierwsza właściwość [A] nadal obowiązuje, ale nie [B].

Modelowanie sieci rezystorowej

SLRT ma zastosowanie zawsze, gdy napęd jest na tyle silny, że relaksacja do stanu ustalonego jest powolna w porównaniu z dynamiką napędzaną. Zakłada się jednak, że system można modelować jako sieć rezystorów, wyrażoną matematycznie jako ${\ Displaystyle G = [[G_ {nm}]]}$ . Notacja ${\ Displaystyle [[G_ {nm}]]}$ oznacza zwykłe obliczenia elektrotechniczne przewodności dwóch zacisków danej sieci rezystorów. $implikują$ przykład implikują $,$ szeregowe . Obliczenia sieci rezystorów są wyraźnie półliniowe, ponieważ spełniają ${\ Displaystyle [[\ lambda A]] = \ lambda [[A]]}$ , ale ogólnie ${\ Displaystyle [[A + B]] \ neq [[A]] + [[B]]$ .

Obraz złotej reguły Fermiego

W kwantowo-mechanicznym obliczeniu absorpcji energii reprezentują szybkości przejścia między poziomami energii według $Fermiego$ Jeśli sprzężone są tylko sąsiednie poziomy, implikuje to dodawanie szeregowe

${\ Displaystyle G = G [{\ tylda {S}} (\ omega) ]=\left[\int _{-\infty }^{\infty }\mu (\omega){\tylda {S}}(\omega)^{-1}\,d\omega \right]^{ -1}}$

który jest wyraźnie półliniowy. Bardziej interesujące są wyniki dla sieci rzadkich, które są spotykane w analizie systemów napędzanych słabo chaotycznie i można je uzyskać za pomocą uogólnionego schematu przeskoku o zmiennym zakresie (VRH).