Wszystkie konie są tego samego koloru

Wszystkie konie są tego samego umaszczenia to fałszywy paradoks , który wynika z błędnego zastosowania indukcji matematycznej w celu udowodnienia twierdzenia Wszystkie konie są tego samego umaszczenia . Nie ma rzeczywistej sprzeczności, ponieważ te argumenty mają kluczową wadę, która czyni je błędnymi. Ten przykład został pierwotnie podniesiony przez George'a Pólyę w książce z 1954 roku w inny sposób: „Czy dowolne $n$ liczb jest równych?” lub „Dowolne $n$ dziewcząt ma oczy tego samego koloru” jako ćwiczenie z indukcji matematycznej. Zostało również przekształcone jako „Wszystkie krowy mają ten sam kolor”.

Wersja paradoksu „koni” została przedstawiona w 1961 roku w satyrycznym artykule Joela E. Cohena . Stwierdzono to jako lemat , co w szczególności pozwoliło autorowi „udowodnić”, że Aleksander Wielki nie istniał i miał nieskończoną liczbę kończyn.

Argument

Wszystkie konie mają ten sam paradoks kolorów, krok indukcyjny zawodzi dla

n = 1

Argument jest dowodem przez indukcję . Najpierw ustalamy przypadek bazowy dla jednego konia ( ${\ displaystyle n=1}$ ). $Następnie$ udowadniamy, że jeśli $ten$ sam kolor, to konie również muszą mieć ten sam

Przypadek podstawowy: Jeden koń

Sprawa z jednym koniem jest banalna. Jeśli w „grupie” jest tylko jeden koń, to oczywiście wszystkie konie w tej grupie mają ten sam kolor.

Krok indukcyjny

Załóżmy, że $konie$ zawsze tego samego koloru. Rozważmy grupę składającą się z koni. ${\ displaystyle n + 1}$

Najpierw wyklucz jednego konia i spójrz tylko na $inne$ ; wszystkie są tego samego koloru, ponieważ $konie$ mają ten sam kolor. Podobnie $konia$ (nie identycznego z pierwszym usuniętym) i spójrz tylko na inne konie. Zgodnie z tym samym rozumowaniem, one również muszą być tego samego koloru. Dlatego pierwszy wykluczony koń jest tego samego koloru co niewykluczone konie, które z kolei są tego samego koloru co drugi wykluczony koń. Zatem pierwszy wykluczony koń, niewykluczone konie i ostatni wykluczony koń są tego samego koloru i udowodniliśmy, że:

Jeśli $ten$ $kolor$ sam kolor, to również będą miały ten sam

Widzieliśmy już w przypadku podstawowym, że reguła („wszystkie konie mają ten sam kolor”) była ważna dla ${\ displaystyle n = 1}$ . Udowodniono tutaj $, że$ $to$ reguła jest ważna dla być również ważna dla że reguła jest ważna dla ${\ displaystyle n = 3}$ i tak dalej.

Tak więc w dowolnej grupie koni wszystkie konie muszą być tego samego koloru.

Wyjaśnienie

Powyższy argument zakłada domniemane założenie, że zbiór koni ma rozmiar co najmniej 3, tak że dwa właściwe $, musiałyby$ koniecznie mieć wspólny element . Nie jest to prawdą na pierwszym etapie indukcji, tj. gdy ${\ Displaystyle n + 1 = 2}$ .

Niech dwa konie to koń A i koń B. Kiedy koń A zostanie usunięty, prawdą jest, że pozostałe konie w zestawie są tego samego koloru (pozostaje tylko koń B). To samo dotyczy usunięcia konia B. Jednak stwierdzenie „pierwszy koń w grupie jest tego samego koloru co konie w środku” jest bez sensu, ponieważ nie ma „konia w środku” (elementy wspólne (konie) w obu zestawach). Dlatego powyższy dowód ma zerwane połączenie logiczne. Dowód tworzy fałszywy paradoks ; wydaje się, że poprzez ważne rozumowanie pokazuje coś, co jest oczywiście fałszywe, ale w rzeczywistości rozumowanie jest błędne.

Zobacz też