Paradoks ziemniaka
Paradoks ziemniaka to matematyczne obliczenie, którego wynik jest sprzeczny z intuicją. Uniwersalna Księga Matematyki przedstawia problem jako taki:
Fred przynosi do domu 100 kg ziemniaków, które (będąc czysto matematycznymi ziemniakami) składają się w 99% z wody (będącej czysto matematyczną wodą). Następnie pozostawia je na zewnątrz na noc, tak aby składały się w 98% z wody. Jaka jest ich nowa waga?
Następnie ujawnia odpowiedź:
Zaskakująca odpowiedź to 50 kg.
W klasyfikacji paradoksów Quine'a paradoks ziemniaka jest paradoksem prawdziwym , co oznacza, że wynik jest prawdziwy, ale wydaje się absurdalny.
Jeśli ziemniaki składają się w 99% z wody, sucha masa wynosi 1%. Oznacza to, że 100 kg ziemniaków zawiera 1 kg suchej masy, która się nie zmienia, gdyż odparowuje jedynie woda.
Aby ziemniaki składały się w 98% z wody, sucha masa musi stanowić 2% całkowitej masy – dwukrotnie więcej niż wcześniej. Ilość suchej masy, 1 kg, pozostaje niezmieniona, więc można to osiągnąć jedynie poprzez zmniejszenie całkowitej masy ziemniaków. Ponieważ proporcję stanowiącą suchą masę należy podwoić, całkowitą masę ziemniaków należy zmniejszyć o połowę, co daje wynik 50 kg.
Zauważ, że ten dowód zakłada, że usuwasz wodę i nie zastępujesz jej niczym ciężkim.
Dowody matematyczne
Niech x będzie nową całkowitą masą ziemniaków (suche + woda).
Niech d będzie suchą masą ziemniaków , aw masą wody w ziemniakach.
Przypomnijmy, że w wynosi 98% masy całkowitej, czyli w = 0,98 x .
Zatem x = d + w = d + 0,98 x , tj. x = d / 0,02 = 50 kg.
W naszym przypadku d = 1 kg, więc nowa masa ziemniaków rzeczywiście wyniesie 50 kg.
Niech X będzie masą utraconą. Ponieważ masa ciała stałego (nie będącego wodą) pozostaje stała
X = początkowa zawartość wody – końcowa zawartość wody
X = 99% 100 kg – 98% (100 kg – X )
X = 99 kg – 98 kg + 0,98 X
1 kg = 0,02 X
X = (1 kg)/0,02 = 50 kg