Pojedyncza kontrola

W sterowaniu optymalnym problemy sterowania pojedynczego są problemami trudnymi do rozwiązania, ponieważ proste zastosowanie zasady minimum Pontriagina nie daje pełnego rozwiązania. Rozwiązano tylko kilka takich problemów, takich jak problem portfela Mertona w ekonomii finansowej czy optymalizacja trajektorii w lotnictwie. Poniżej znajduje się bardziej techniczne wyjaśnienie.

Najczęstsza trudność w stosowaniu zasady Pontryagina pojawia się, gdy hamiltonian zależy $liniowo$ sterowania , tj. ma postać: ${\ displaystyle H(u)=\phi (x,\lambda ,t)u+\cdots }$ a kontrola jest ograniczona do zakresu pomiędzy górną a dolną granicą: ${\ Displaystyle a \ równoważnik u (t) \ równoważnik b}$ . Aby zminimalizować $,$$\ Displaystyle$ zrobić $,$ w zależności od znaku , konkretnie:

${\ Displaystyle u (t) = {\ rozpocząć {przypadki} b, \ phi (x, \ lambda, t) <0\\?,&\phi (x,\lambda ,t)=0\\a,&\phi (x,\lambda ,t)>0.\end{przypadki}}}$

Jeśli w niektórych momentach jest $dodatnia , w innych ujemna$ natychmiast wynosi tylko zero, to rozwiązanie jest proste i jest sterowaniem bang-bang , które przełącza się z ${\ displaystyle b}$ na ${\ displaystyle a }$ w czasach, gdy zmienia $ujemnego$ na dodatni.

Przypadek, $,$$przez$ skończony czas pojedynczym przypadkiem Pomiędzy maksymalizacją hamiltonianu względem ${\ displaystyle t_ {1}}$ i ${\ displaystyle t_ {2}}$${\ displaystyle u}$ nie daje nam żadnych użytecznych informacji, a rozwiązanie w tym przedziale czasowym będzie musiało zostać znalezione na podstawie innych rozważań. ( $ustawić$ ze sposobów byłoby wielokrotne różnicowanie do czasu, aż kontrola u ponownie pojawi się wyraźnie, chociaż nie ma gwarancji, że tak się stanie ostatecznie. Można wtedy $displaystyle t_ {1}}$ stwierdzenia , że ​​między sterowaniem a ${\$${\ displaystyle u}$ jest określony przez wymaganie, aby warunek osobliwości był nadal spełniony. Powstały tak zwany łuk osobliwy, jeśli jest optymalny, spełni warunek Kelleya :

${\ Displaystyle (-1) ^ {k} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy u} }\left[{\left({\frac {d}{dt}}\right)}^{2k}H_{u}\right]\geq 0,\,k=0,1,\cdots }$

Inni określają ten stan jako uogólniony warunek Legendre-Clebscha .

Termin kontrola typu bang-bang odnosi się do kontroli, która ma część typu bang-bang, jak również część pojedynczą.

Linki zewnętrzne

•   Bryson, Arthur E. Jr.; Ho, Yu-Chi (1969). „Pojedyncze rozwiązania problemów optymalizacji i sterowania” . Stosowana optymalna kontrola . Waltham: Blaisdell. s. 246–270. ISBN 9780891162285 .