Pojemnościowe minimalne drzewo rozpinające

Minimalne drzewo rozpinające z pojemnością $i$ drzewo rozpinające o $minimalnym$ koszcie grafu , które ma wyznaczony węzeł główny spełnia ograniczenie pojemności . Ograniczenie przepustowości zapewnia, że wszystkie poddrzewa (maksymalne podgrafy $węzły$ $mają$ pojedynczą krawędzią) występujące w węźle głównym nie więcej niż . Jeśli węzły drzewa $niż$ wagi, to ograniczenie pojemności można interpretować w następujący sposób: suma wag w dowolnym poddrzewie nie powinna być większa . Krawędzie łączące podgrafy z węzłem głównym nazywane są bramkami . Znalezienie optymalnego rozwiązania jest NP-trudne .

Algorytmy

Załóżmy, że mamy wykres ${\ Displaystyle G = (V, E)}$ , ${\ Displaystyle n = | G |}$ z korzeniem ${\ Displaystyle r \ w G}$ . Niech $a_ {i}}$ inne węzły w ${\ displaystyle$ . Niech do $ij}}$ $C={c_{ij}}$ będzie kosztem krawędzi między wierzchołkami i $a_ {j}}$ $Displaystyle$ które tworzą macierz kosztów .

Heurystyka Ezawa-Williamsa

Heurystyka Esau-Williamsa znajduje suboptymalne CMST, które są bardzo zbliżone do dokładnych rozwiązań, ale średnio EW daje lepsze wyniki niż wiele innych heurystyk.

Początkowo wszystkie węzły są połączone z korzeniem ( wykres gwiazdowy $)$ , a koszt sieci wynosi $ri}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {n} c_$ ; każda z tych krawędzi jest bramą. ${\ Displaystyle t (a_ {i}) = g_ {i} -c_ {ij}}$ szukamy najbliższego sąsiada $-$ w $ja$ kompromisu: . Szukamy największego $i$ $} }$ jeśli wynikowe poddrzewo nie narusza ograniczeń pojemności, usuwamy bramkę łącząc -te poddrzewo z $\$ za jot $a_ {j}} do$ $c_ {ij}}$ . Powtarzamy iteracje, dopóki nie będziemy mogli wprowadzić żadnych dalszych ulepszeń w drzewie.

Heurystyka Esau-Williamsa do obliczania nieoptymalnego CMST:

            
        
            
      funkcja  CMST (  do  ,  do  ,  r  ):  T  = {  ${\ displaystyle c_ {1r}}$  ,  ${\ displaystyle c_ {2r}}$  , ...,  ${\ displaystyle c_ {nr }}$  }  podczas gdy  mają zmiany:  dla każdego  węzła  $}}$  ${\ Displaystyle a_ {$  = najbliższy węzeł w innym poddrzewie  $})}$  ${\ Displaystyle t (a_ {i$  =  ${\ Displaystyle g_ {i}}$  -  ${\ Displaystyle c_ {ij}}$  t_max  =  max  (  ${\ Displaystyle t (a_ {i})}$  )  k  =  ja  ${\ Displaystyle t (a_ {i})}$  za  = t_max  jeśli  (  koszt  (i) +  koszt  (j) <=  )  T  =  T  -  sol  $\ Displaystyle g_ {k}}$  T  =  T  związek  $\ Displaystyle c_ {kj}}$  powrót  T

Łatwo zauważyć, że EW znajduje rozwiązanie w czasie wielomianowym.

Heurystyka Sharmy

Heurystyka Sharmy.

Heurystyka Ahuja

Heurystyka Ahuja wykorzystuje lokalne wyszukiwanie w dużym sąsiedztwie z wieloma giełdami z losowego, zachłannego początkowego rozwiązania.

Wstępne rozwiązanie

Początkowe rozwiązanie znajduje się przy użyciu losowej wersji Esau-Williamsa. Randomizację uzyskuje się poprzez $wykonanie$ równomiernie losowego łączenia z najlepszych najlepszego na każdym kroku.

Lokalne sąsiedztwo wyszukiwania

Niech $będzie$ rozwiązaniem z $.$ Sąsiedztwo składa się z dowolnej kombinacji pojedynczego węzła lub poddrzewa (ogólne poddrzewa, a nie jak we wstępie do tego artykułu) przemieszczającego jeden w innym komponencie ${\ displaystyle T \ setminus r}$ w taki sposób, że przesunięta struktura jest następny pływak, ostatni pływak zastępuje pierwszy pływak, żaden oryginalny element nie ma więcej niż jednego pływaka, a nośność żadnego wynikowego elementu nie została przekroczona.

Wykres ulepszeń

Wykres ulepszeń to narzędzie do sprawnego przeszukiwania bardzo dużego sąsiedztwa. Ścieżki na wykresie poprawy odpowiadają zmianom rozwiązania, a koszt ścieżki to zmiana kosztu rozwiązania po zastosowaniu zmiany. $}$ ukierunkowanym multigrafem zbudowanym przy użyciu 2 kopii węzła ${\ Displaystyle i', i''$ i do 4 krawędzi od dowolnego węzła do dowolnego węzła w innym komponencie ${\ displaystyle T \ setminus r}$ . Krawędź $i$ zmianie polegającej na usunięciu węzła $z$ $.$ zakorzenionego w część. Łączenie $możliwe$ i $daje$ 4 Krawędź istnieje, jeśli odpowiadająca jej zmiana nie prowadzi do przekroczenia pojemności przez docelowy komponent. Koszt krawędzi to różnica w kosztach minimalnych drzew rozpinających na wierzchołkach w docelowym komponencie przed i po przemieszczeniu. Zatem sąsiedzi w wyszukiwaniu lokalnym odpowiadają cyklom na grafie poprawy, które zawierają co najwyżej jeden węzeł z każdego składnika.

Krok wyszukiwania lokalnego

Krok wyszukiwania lokalnego wykorzystuje metodę programowania dynamicznego w celu znalezienia minimalnego cyklu kosztów na wykresie ulepszeń. Generowane są ścieżki przez wykres doskonalenia o rosnącej długości i zapamiętywane są tylko najkorzystniejsze z tym samym początkiem i końcem oraz zaangażowane komponenty. W tym celu tablica mieszająca z krotką tych 3 właściwości jako kluczem. Ponieważ w każdym ujemnym cyklu istnieje taki węzeł, że wszystkie ścieżki w tym cyklu zawierające ten węzeł mają koszt ujemny, w ogóle należy brać pod uwagę tylko ścieżki o koszcie ujemnym. Ponieważ porównywanie zbiorów zaangażowanych składowych między ścieżkami jest jedną z najczęstszych operacji w algorytmie, jest ono realizowane jako porównanie tablic bitów wskaźników zapisanych jako liczby całkowite dla prędkości. Wynika to jednak wyraźnie z wielu kolizji skrótów, które mogą być konsekwencją konkretnego wyboru funkcji skrótu i struktury tabeli, a także dużego współczynnika obciążenia ze względu na ograniczenia przestrzenne (artykuł z 2003 r.).

Wydajność

W czasie pisania artykułu (2003) algorytm ten był najnowocześniejszym standardowym testem porównawczym badań operacyjnych. W realizacji dominowało budowanie (odpowiednio aktualizowanie) wykresu usprawnień. Liczba krawędzi na wykresie poprawy empirycznie przeskalowana kwadratowo z rozmiarem wykresu wejściowego, a ponieważ określa to, ile razy należy wykonać stosunkowo złożony krok znalezienia minimalnego drzewa rozpinającego, jest to najbardziej krytyczny czynnik. Można zatem stwierdzić, że mniej gęste wykresy wejściowe znacznie poprawiają czas działania, ponieważ zmniejsza to liczbę krawędzi na wykresie poprawy.

Aplikacje

Problem CMST jest ważny w projektowaniu sieci: gdy wiele komputerów końcowych musi być podłączonych do centralnego koncentratora, konfiguracja gwiazdy zwykle nie jest projektem o minimalnych kosztach. Znalezienie CMST, który organizuje terminale w podsieci, może obniżyć koszt wdrożenia sieci.

^ Jothi, Raja; Raghavachari, Balaji (2005), „Algorytmy aproksymacji dla problemu pojemnościowego minimalnego drzewa rozpinającego i jego wariantów w projektowaniu sieci”, ACM Trans. Algorytmy , 1 (2): 265–282, doi : 10.1145/1103963.1103967 , S2CID 8302085
^ Ezaw, LR; Williams, KC (1966). „O projektowaniu sieci teleprzetwarzania: część II. Metoda przybliżania optymalnej sieci”. Dziennik systemów IBM . 5 (3): 142–147. doi : 10.1147/sj.53.0142 .
Bibliografia _ El-Bardai, MT (1977). „Suboptymalna synteza sieci komunikacyjnej”. w Proc. Międzynarodowej Konferencji ds. Komunikacji : 19.11–19.16.
Bibliografia _ Orlin, JB; Sharma, D. (2003). „Złożona struktura sąsiedztwa na bardzo dużą skalę dla problemu minimalnego drzewa rozpinającego z pojemnością”. Listy z badań operacyjnych . 31 (3): 185–194. doi : 10.1016/S0167-6377(02)00236-5 .

[1] Jothi, Raja; Raghavachari, Balaji (2005), „Algorytmy aproksymacji dla problemu pojemnościowego minimalnego drzewa rozpinającego i jego wariantów w projektowaniu sieci”, ACM Trans. Algorytmy , 1 (2): 265–282, doi : 10.1145/1103963.1103967 , S2CID 8302085

[ew_alg-2] Ezaw, LR; Williams, KC (1966). „O projektowaniu sieci teleprzetwarzania: część II. Metoda przybliżania optymalnej sieci”. Dziennik systemów IBM . 5 (3): 142–147. doi : 10.1147/sj.53.0142 .

[3] Bibliografia _ El-Bardai, MT (1977). „Suboptymalna synteza sieci komunikacyjnej”. w Proc. Międzynarodowej Konferencji ds. Komunikacji : 19.11–19.16.

[4] Bibliografia _ Orlin, JB; Sharma, D. (2003). „Złożona struktura sąsiedztwa na bardzo dużą skalę dla problemu minimalnego drzewa rozpinającego z pojemnością”. Listy z badań operacyjnych . 31 (3): 185–194. doi : 10.1016/S0167-6377(02)00236-5 .