Pole rodzaju

W algebraicznej teorii liczb pole rodzaju Γ ( K ) pola liczb algebraicznych K jest maksymalnym abelowym rozszerzeniem K , które uzyskuje się przez złożenie absolutnie abelowego pola z K i które jest nierozgałęzione we wszystkich skończonych liczbach pierwszych K . Numer rodzaju K to stopień [ Γ(K) : K ] , a grupa rodzaju to grupa Galois Γ(K ) nad K.

Jeśli K samo w sobie jest absolutnie abelowe, pole rodzajowe można opisać jako maksymalne absolutnie abelowe rozszerzenie K nierozgałęzione we wszystkich skończonych liczbach pierwszych: tej definicji używali Leopoldt i Hasse.

Jeśli K = Q ( √ m ) ( m bez kwadratów) jest polem kwadratowym dyskryminatora D , pole rodzaju K jest złożeniem pól kwadratowych. Niech pi _przebiegnie przez czynniki pierwsze D . Dla każdej takiej liczby pierwszej p , zdefiniuj p ^∗ następująco:

${\ Displaystyle p ^ {*} = \ pm p \ równoważnik 1 {\ pmod {4}} {\ tekst {jeśli}} p {\ tekst {jest nieparzysty}};}$

${\ Displaystyle 2 ^ {*} = -4,8, -8 {\ tekst {według}} m \ równoważnik 3 {\ pmod {4}}, 2 {\ pmod {8}}, -2 {\ pmod {8}}.}$

${\ Displaystyle K ({\ sqrt {p_ {i} ^ {*}}}).}$ pole rodzajowe jest złożonym

Zobacz też

• Pole klasy Hilberta

•    Ishida, Makoto (1976). Rodzaje pól algebraicznych pól liczbowych . Notatki z wykładów z matematyki. Tom. 555. Springer-Verlag . ISBN 3-540-08000-7 . Zbl 0353.12001 .
•    Janusz, Gerald (1973). Pola liczb algebraicznych . Matematyka czysta i stosowana . Tom. 55. Prasa akademicka. ISBN 0-12-380250-4 . Zbl 0307.12001 .
•     Lemmermeyer, Franz (2000). Prawa wzajemności. Od Eulera do Eisensteina . Monografie Springera z matematyki. Berlin: Springer-Verlag . ISBN 3-540-66957-4 . MR 1761696 . Zbl 0949.11002 .