Postać normalna Howella

W algebrze liniowej i teorii pierścieni $postać$ Howella jest uogólnieniem postaci rzędowej macierzy nad pierścieniem liczb całkowitych modulo . Rozpiętość wierszy dwóch macierzy jest zgodna wtedy i tylko wtedy, gdy zgadzają się ich postacie normalne Howella. Postać normalna Howella uogólnia postać normalną Hermite'a , która jest zdefiniowana dla $macierzy$ .

Definicja

Nazywa się macierz ${\ Displaystyle A \ in \ mathbb {Z} _ {N} ^ {n \ razy m}}$ nad ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {N}}$ być w formie rzędowej schodkowej, jeśli ma następujące właściwości:

• Niech ${\ displaystyle r}$ będzie liczbą niezerowych wierszy ${\ displaystyle A}$ . Wtedy najwyższe wiersze macierzy są niezerowe, ${\ displaystyle r}$
• Dla ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik i \ równoważnik r}$$będzie$ indeksem skrajnego lewego niezerowego elementu w wierszu $displaystyle i}$ . Następnie ${\ Displaystyle j_ {1}<j_ {2}<\ kropki <j_ {r}}$ .

W przypadku przekształceń elementarnych każdą macierz w postaci schodkowej można zredukować w taki sposób, aby zachowały się następujące właściwości:

• Dla każdego elementu $A_ {ij_ {i}$$1 \ równoważnik i \ równoważnik r}$ jest dzielnikiem , ZA ja jot $Displaystyle$ }
• Dla każdego ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik k <i \ równoważnik r}$ oznacza, że ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik A_ {kj_ {i} <A_ {ij_{i}}}$ .

Jeśli $spełnia$ powyższe właściwości, mówi się, że jest w formie schodkowej zredukowanej .

Jeśli jest zgodna z następującą dodatkową $właściwością$ , mówi się, że jest w normalnej postaci Howella $A}): ZA$ oznacza rozpiętość wierszy { \ $displaystyle$ }

• niech ${\ Displaystyle v \ w S (A)}$ będzie elementem rozpiętości wierszy ${\ Displaystyle A}$ tak, że dla każdego ${\ Displaystyle v_ {k} = 0}$${\ Displaystyle 1 \ równoważnik k <j_ {i}}$ . Wtedy ${\ Displaystyle v \ w S (A_ {i \ kropki m})}$ , gdzie $-tej$ macierzą $uzyskaną$$od$$wierszy$ do macierzy _

Nieruchomości

Dla każdej macierzy $,$ istnieje unikalna macierz $=$$postaci$${\ Displaystyle S (A) = S (H)}$ Howella, . Macierz $poprzez$ uzyskać z macierzy sekwencję elementarnych $przekształceń$

Z tego wynika ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {N} ^ {n \ razy m}} ZA , b ∈ Z N n × m {\ Displaystyle A, B \ in \ mathbb {Z} _$ { $}$ , ich rozpiętości wierszy są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich postacie normalne Howella są równe.

Na przykład macierze

${\ Displaystyle A = {\ rozpocząć {bmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \ koniec {bmatrix}}, \; \; \; B ={\begin{bmatrix}8&5&5\\0&9&8\\0&0&10\end{bmatrix}}}$

mają tę samą postać normalną Howella nad : ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {12}$ }

${\ Displaystyle H = {\ początek {bmatrix} 4 i 1 i 0 \\ 0 i 3 i 0 \\ 0 i 0 i 1 \ koniec {bmatrix}}.}$

Zauważ, że i są dwiema odrębnymi macierzami w postaci rzędów schodkowych, co oznaczałoby, że ich rozpiętość jest taka sama, jeśli są traktowane jako macierze $.$$jakimś$ Co więcej, są one w postaci normalnej Hermite'a , co oznacza $,$ że ​​​​ich rozpiętość wierszy jest również taka sama, jeśli rozważymy je nad liczb całkowitych .

Jednak nie $pierścieniami$ czasami można anulować obrót wiersza, mnożąc wiersz przez skalar bez anulowania całego wiersza W tym konkretnym przypadku

${\ Displaystyle 3 \ cdot {\ początek {bmatrix} 4 i 1 i 0 \ koniec {bmatrix}} \ równoważnik {\ początek {bmatrix} 0 i 3 i 0 \ koniec {bmatrix}} {\ pmod {12}}.}$

Implikuje to $co$ byłoby prawdziwe w odniesieniu do

Bibliografia

•    John A. Howell (kwiecień 1986). „Rozpiętości w module (Z_m)^S”. Algebra liniowa i wieloliniowa . 19 (1): 67–77. doi : 10.1080/03081088608817705 . ISSN 0308-1087 . Wikidane Q110879587 .
•    Arne Storjohann; Thom Mulders (24 sierpnia 1998). „Szybkie algorytmy dla algebry liniowej Modulo N”. Notatki z wykładów z informatyki : 139–150. doi : 10.1007/3-540-68530-8_12 . ISSN 0302-9743 . Wikidane Q110879586 .
•    Jean-François Biasse; Mikołaj Fieker; Tommy Hofmann (maj 2017). „O obliczaniu HNF modułu na pierścieniu liczb całkowitych pola liczbowego”. Dziennik obliczeń symbolicznych . 80 : 581–615. ar Xiv : 1612.09428 . doi : 10.1016/J.JSC.2016.07.027 . ISSN 0747-7171 . Wikidane Q110883424 .