Potrójna homologia

W algebrze, dla danej kategorii C z kopotróją , n -ta kopotrójna homologia obiektu X w C ze współczynnikami w funktorze E jest n -tą grupą homotopii E obiektu uproszczonego rozszerzonego indukowanego z X przez kopotrę . Termin „homologia” wynika z tego, że w przypadku abelowym, na mocy zgodności Dolda-Kana , grupy homotopii są homologią odpowiedniego kompleksu łańcuchowego.

${\ Displaystyle E = - \ otimes _ {R} N}$ Niech N będzie lewym modułem nad pierścieniem R i niech mi . Niech F będzie lewym sprzężeniem funktora zapominalskiego z kategorii pierścieni do zbioru ; tj. wolny funktor modułu. Wtedy ${\ Displaystyle FU}$$n$ kopotrę, a - ta homologia n tym pochodnym E ocenianym M ; tj. ${\ Displaystyle \ operatorname {Tor} _ {n} ^ {R} (M, N)}$ .

Przykład ( algebraiczna teoria K ): Napiszmy GL dla funktora ${\ Displaystyle R \ mapsto \ varinjlim _ {n} GL_ {n} (R)}$ . Tak jak poprzednio , definiuje $kopotrę$ w kategorii pierścieni z wolnym funktorem pierścieniowym i zapominalskim . Dla pierścienia R mamy:

${\ Displaystyle K_ {n} (R) = \ pi _ {n-2} GL (FU_ {*} R), \,n\geq 3}$ 

gdzie po lewej stronie jest n -ta K -grupa R . Ten przykład jest przykładem nieabelowej algebry homologicznej.

Notatki

•     Weibel, Charles A. (1994). Wprowadzenie do algebry homologicznej . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Tom. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4 . MR 1269324 . OCLC 36131259 .

Dalsza lektura

• Kto wrzucił swobodną algebrę do mojej wolnej algebry? , wpis na blogu.