Powierzchnia o zerowej prędkości

Stała Jacobiego, powierzchnia i krzywa prędkości zerowej

Powierzchnia o zerowej prędkości jest pojęciem odnoszącym się do problemu grawitacji N -ciał . Reprezentuje powierzchnię, przez którą ciało o danej energii nie może przejść, ponieważ miałoby zerową prędkość na powierzchni. Po raz pierwszy został wprowadzony przez George'a Williama Hilla . Powierzchnia o zerowej prędkości jest szczególnie istotna podczas pracy ze słabymi oddziaływaniami grawitacyjnymi między orbitującymi ciałami.

Problem trzech ciał

Trajektoria (czerwona) w problemie płaskich kołowych ograniczonych 3 ciał, która okrąża cięższe ciało kilka razy przed ucieczką na orbitę wokół lżejszego ciała. Kontury oznaczają wartości całki Jacobiego. Ciemnoniebieski obszar ma być obszarem wykluczonym z trajektorii, otoczonym przez powierzchnię o zerowej prędkości, której nie można przekroczyć. Jednak liczba ta jest błędna, ponieważ wszędzie tam, gdzie trajektoria styka się z powierzchnią o zerowej prędkości, powinna być do niej prostopadła.

W problemie trzech ciał z ograniczeniami kołowymi dwie ciężkie masy krążą wokół siebie w stałej odległości promieniowej i prędkości kątowej, a ich grawitacja wpływa na cząstkę o znikomej masie. Przechodząc do obracającego się układu współrzędnych , w którym masy są nieruchome, wprowadzana jest siła odśrodkowa. Energia i pęd nie są zachowane oddzielnie w tym układzie współrzędnych, ale całka Jacobiego pozostaje stała:

{\ Displaystyle C = \ omega ^ {2} ( x^{2}+y^{2})+2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{ 2}}}\prawo)-\lewo({\kropka {x}}^{2}+{\kropka {y}}^{2}+{\kropka {z}}^{2}\prawo)}

gdzie ${\ Displaystyle \ omega}$ to prędkość obrotowa, ${\ Displaystyle x, y}$ położenie cząstki w obracającym się układzie współrzędnych, ${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}}$ odległości do ciał i $przez$ grawitacji

Dla danej wartości $na$ powierzchni

{\ Displaystyle C = \ omega ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) + 2 \left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)}

wymagać, aby ${\ Displaystyle {\ kropka {x}} ^ {2} + {\ kropka {y}} ^ {2} + {\ kropka {z}} ^ { 2}=0}$ . Oznacza to, że cząstka nie będzie w stanie przejść przez tę powierzchnię (ponieważ kwadrat prędkości musiałby być ujemny). Jest to powierzchnia problemu o zerowej prędkości.

Zauważ, że oznacza to zerową prędkość w obracającym się układzie: w nieobrotowym układzie cząstka jest postrzegana jako obracająca się wraz z innymi ciałami. Powierzchnia przewiduje również tylko obszary, do których nie można wejść, a nie kształt trajektorii w obrębie powierzchni.

Uogólnienia

Koncepcję można uogólnić na bardziej złożone problemy, na przykład z masami na orbitach eliptycznych, ogólnym problemem płaskich trzech ciał, problemem czterech ciał z oporem wiatru słonecznego lub pierścieniami.

Punkty Lagrange'a

Powierzchnia o zerowej prędkości jest również ważnym parametrem w znajdowaniu punktów Lagrange'a . Punkty te odpowiadają lokalizacjom, w których pozorny potencjał w obracającym się układzie współrzędnych jest ekstremalny. Odpowiada to miejscom, w których powierzchnie o zerowej prędkości ściskają się i tworzą dziury w $zmian$ . Ponieważ trajektorie są ograniczone przez powierzchnie, trajektoria, która ma na celu ucieczkę (lub wejście) do regionu o minimalnej energii, zwykle przebiega blisko punktu Lagrange'a, który jest używany w planowaniu trajektorii transferu o niskiej energii .

Gromady galaktyk

Biorąc pod uwagę grupę galaktyk , które oddziałują grawitacyjnie, powierzchnia o zerowej prędkości jest używana do określenia, które obiekty są związane grawitacyjnie (tj. nie są pokonane przez ekspansję Hubble'a ) , a zatem są częścią gromady galaktyk , takiej jak Grupa Lokalna .

Zobacz też