Pozycja izotropowa

W dziedzinie uczenia maszynowego , teorii obliczeń i teorii macierzy losowych mówi się, że rozkład prawdopodobieństwa po wektorach jest w pozycji izotropowej , jeśli jego macierz kowariancji jest równa macierzy identyczności .

Definicje formalne

Niech $będzie$ rozkładem po wektorach w przestrzeni wektorowej $\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Wtedy ${\ textstyle D}$ jest w pozycji izotropowej, jeśli dla wektora próbkowanego z rozkładu, ${\ textstyle v}$

$${\ Displaystyle \ mathbb {E} \, vv ^ {\ mathsf {T}} = \ operatorname {Id}.}$$

Mówimy, że zbiór wektorów znajduje się w pozycji izotropowej, jeśli rozkład równomierny w tym zestawie jest w pozycji izotropowej. W szczególności każdy ortonormalny zbiór wektorów jest izotropowy.

Jako powiązana definicja, wypukłe ciało w ${$$\ textstyle \ mathbb {R} ^ {n}} nazywa się izotropowym$ jeśli ma objętość ${\textstyle |K|=1}$ , środek masy na początku układu współrzędnych i istnieje stała taka, że ${\textstyle \ alpha > 0}$

$${\ Displaystyle \ int _ {K} \ langle x, y \ rangle ^ {2} dx = \ alfa ^ {2} | y | ^ {2},}$$

dla wszystkich wektorów ${\ textstyle y}$ w ${\ textstyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ; tutaj ${\textstyle |\cdot |}$ oznacza standardową normę euklidesową.

Zobacz też

• Transformacja wybielająca

•   Rudelson, M. (1999). „Losowe wektory w pozycji izotropowej”. Dziennik analizy funkcjonalnej . 164 (1): 60–72. arXiv : matematyka/9608208 . doi : 10.1006/jfan.1998.3384 . S2CID 7652247 .