Prawa Arcsine (proces Wienera)

W teorii prawdopodobieństwa prawa łuku sinusoidalnego są zbiorem wyników dla jednowymiarowych spacerów losowych i ruchów Browna ( proces Wienera ). Najbardziej znany z nich przypisuje się Paulowi Lévy'emu ( 1939 ).

Wszystkie trzy prawa wiążą właściwości ścieżki procesu Wienera z rozkładem arcus sinus . Zmienna losowa X na [0,1] ma rozkład arcus sinus, jeśli

{\ Displaystyle \ Pr \ lewo [X \ równoważnik x \ prawo] = {\ Frac {2} {\ pi}} \ arcsin \ lewo ({\ sqrt {x}} \ prawo), \ qquad \ forall x \ in [0,1].}

Oświadczenie o prawach

Przez cały czas zakładamy, że ( W _t ) _{0 ≤ t ≤ 1} ∈ R jest jednowymiarowym procesem Wienera na [0,1]. Niezmienność skali zapewnia, że wyniki można uogólnić na procesy Wienera przebiegające dla t ∈[0,∞).

Pierwsze (Lévy'ego) prawo łuku sinusoidalnego

Pierwsze prawo arcus sinus stwierdza, że proporcja czasu, w którym jednowymiarowy proces Wienera jest dodatni, jest zgodna z rozkładem arcus sinus. Pozwalać

{\ Displaystyle T_ {+} = \ lewo | \ {\, t \ w [0,1] \, \ dwukropek \, W_ {t}> 0 \, \} \ prawo |}

będzie miarą zbioru czasów w [0,1], w których proces Wienera jest dodatni. Wtedy ma rozkład sinusoidalny ${\ displaystyle T_ {+}} .$

Drugie prawo łukowe

Drugie prawo łuku sinusoidalnego opisuje rozkład czasu ostatniej zmiany znaku procesu Wienera. Pozwalać

{\ Displaystyle L = \ sup \ lewo \ {t \ w [0,1] \, \ dwukropek \, W_ {t} = 0 \ prawo \} }

będzie czasem ostatniego zera. Wtedy L ma rozkład arcus sinus.

Trzecie prawo łukowe

Trzecie prawo arcus sinus stwierdza, że czas, w którym proces Wienera osiąga maksimum, ma rozkład arcus sinus.

Sformułowanie prawa opiera się na fakcie, że proces Wienera ma prawie na pewno unikalne maksima, więc możemy zdefiniować zmienną losową M , która jest czasem, w którym maksima są osiągane. tj. unikalne M takie, że

{\ Displaystyle W_ {M} = \ sup \ {W_ {s} \, \ dwukropek \, s \ w [0,1] \}.}

Wtedy M ma rozkład arcus sinus.

Równoważność drugiego i trzeciego prawa

Zdefiniowanie procesu maksymalnego przebiegu M _t procesu Wienera

{\ Displaystyle M_ {t} = \ sup \ {W_ {s} \, \ dwukropek \, s \ w [0, t] \},}

wtedy prawo X _t = M _t - W _t ma to samo prawo, co odzwierciedlony proces Wienera | Bt | _{_} (gdzie B _t jest procesem Wienera niezależnym od W _t ).

Ponieważ zera B i | B. | pokrywają się, ostatnie zero X ma taki sam rozkład jak L , ostatnie zero procesu Wienera. Ostatnie zero X występuje dokładnie wtedy, gdy W osiąga swoje maksimum. Wynika z tego, że druga i trzecia zasada są równoważne.

Notatki

^ ^a ^b ^c Morters, Peter i Peres, Yuval, Brownian Motion , rozdział 2.

Lévy, Paul (1939), „Sur sures processus stochastiques homogènes” , Compositio Mathematica , 7 : 283–339, ISSN 0010-437X , MR 0000919
Morters, Peter i Peres, Yuval (2010). ruchy Browna . Tom. 30. Cambridge University Press.
Rogozin, BA (2001) [1994], "Prawo Arcsine" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press

[Morters_Peres-1] Morters, Peter i Peres, Yuval, Brownian Motion , rozdział 2.