W teorii prawdopodobieństwa , prawo całkowitej kowariancji , wzór rozkładu kowariancji lub warunkowy wzór kowariancji stwierdza, że jeśli X , Y i Z są zmiennymi losowymi w tej samej przestrzeni prawdopodobieństwa , a kowariancja X i Y jest skończona, to
Nomenklatura w tytule tego artykułu odpowiada zwrotowi „ prawo całkowitej wariancji” . Niektórzy autorzy zajmujący się prawdopodobieństwem nazywają to „ warunkowej kowariancji ” lub używają innych nazw.
Uwaga: Warunkowe wartości oczekiwane E( X | Z ) i E( Y | Z ) są zmiennymi losowymi, których wartości zależą od wartości Z . Zauważ, że warunkowa wartość oczekiwana X przy zdarzeniu Z = z jest funkcją z . Jeśli zapiszemy E( X | Z = z ) = g ( z ), to zmienna losowa E ( X | Z ) to g ( Z ). Podobne uwagi dotyczą kowariancji warunkowej.
Dowód
Prawo całkowitej kowariancji można udowodnić za pomocą prawa całkowitych oczekiwań : Po pierwsze,
![{\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} [XY]-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1640f54ab44b3f8b7b3fd6ce9b44e47f6576700)
z prostej standardowej tożsamości na kowariancjach. Następnie stosujemy prawo całkowitej wartości oczekiwanej poprzez warunkowanie zmiennej losowej Z :
![{\displaystyle =\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [XY\mid Z]{\big ]}-\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [X\mid Z]{\big ]}\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [Y\mid Z]{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e73873e9bb5e80b4f254985371019560dde3459e)
Teraz przepisujemy ten termin wewnątrz pierwszej wartości oczekiwanej, używając definicji kowariancji:
![{\displaystyle =\operatorname {E} \!{\big [}\operatorname {cov} (X,Y\mid Z)+\operatorname {E} [X\mid Z]\operatorname {E} [Y\mid Z]{\big ]}-\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [X\mid Z]{\big ]}\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [Y\mid Z]{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88000aa872d3c4aec4ed610180f7d8d2a2329308)
Ponieważ oczekiwana suma jest sumą oczekiwań, możemy przegrupować warunki:
![{\displaystyle =\operatorname {E} \!\left[\operatorname {cov} (X,Y\mid Z)]+\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Z]\operatorname {E} [Y\mid Z]\right]-\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Z]]\operatorname {E} [\operatorname {E} [Y\mid Z]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2e9f41eaf3f2aa8d658e3da9c379d7e6de26d26)
Ostatecznie dwa ostatnie wyrazy uznajemy za kowariancję oczekiwań warunkowych E[ X | Z ] i E [ Y | Z ]:
![{\displaystyle =\operatorname {E} {\big [}\operatorname {cov} (X,Y\mid Z){\big ]}+\operatorname {cov} {\big (}\operatorname {E} [X\mid Z],\operatorname {E} [Y\mid Z]{\big )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad3010c7ce77176b93bc8b3cbf13c7c9b789843c)
Zobacz też
Uwagi i odniesienia