Preferencje z pojedynczym szczytem

Preferencje jednoszczytowe to klasa relacji preferencji . Mówi się, że grupa agentów ma preferencje o pojedynczym szczycie w stosunku do zestawu możliwych wyników, jeśli wyniki można uporządkować wzdłuż linii w taki sposób, że:

Każdy agent ma „najlepszy wynik” w zestawie i -
W przypadku każdego agenta wyniki bardziej odległe od jego najlepszego wyniku są mniej preferowane.

Preferencje jednowymiarowe są typowe dla domen jednowymiarowych. Typowym przykładem jest sytuacja, gdy kilku konsumentów musi zdecydować, jaką ilość dobra publicznego kupić. Kwota jest zmienną jednowymiarową. Zwykle każdy konsument wybiera odpowiednią dla siebie ilość i jeśli rzeczywista ilość jest większa/mniejsza od ilości idealnej, agent jest wówczas mniej zadowolony.

W przypadku preferencji jednoszczytowych istnieje prosty, zgodny z prawdą mechanizm wyboru wyniku: polega on na wybraniu mediany wielkości. Zobacz twierdzenie o medianie wyborcy . Jest to zgodne z prawdą, ponieważ funkcja mediany spełnia silną właściwość monotoniczności .

Pojęcie to zostało po raz pierwszy przedstawione przez Duncana Blacka , a później przez Kennetha Arrowa .

Definicje

Niech ${\ displaystyle X = \ {x_ {1}, \ ldots, x_ {m} \}}$ będzie zbiorem możliwych wyników. Niech ${\ displaystyle N = \ {1, \ ldots, n \}}$ będzie zbiorem agentów. Relację preferencji agenta i oznacza się przez $}$ } Maksymalny element ${\ displaystyle \ succ _ {i}}$ w X $_$ oznaczony _{_}

Definicja przy użyciu wspólnego porządku

grupa N ma preferencje z pojedynczym szczytem w stosunku do X , jeśli istnieje takie uporządkowanie > wyników, że dla każdego agenta i w N :

${\ Displaystyle x_ {k} x_ {j} \ równoważnik x_ {i} ^ {*} \ Strzałka w prawo x_ {j} \ succ _ {i} x_ {k}}$ ${\ Displaystyle x_ {k}> x_ {j} \ geq x_ {i} ^ {*} \ Strzałka w prawo x_ {j} \ succ _{i}x_{k}}$

$jest$ mówiąc, punktem dla i . Kiedy agent porównuje dwa wyniki, $,$ jak i po lewej stronie od jego idealnego punktu, ściśle preferuje tę opcję, która jest mu .

$,$ relacje preferencji różne, ale kolejność wyników musi być taka sama dla wszystkich agentów.

Warunek konieczny

Ballester i Haeringer udowodnili następujący warunek konieczny preferencji jednoszczytowych.

Jeśli grupa N ma preferencje z pojedynczym szczytem w stosunku do X , to dla każdej trójki wyników w X istnieje wynik, który nie jest sklasyfikowany na ostatnim miejscu przez żadnego agenta w N.

Kilka przykładów

Preferencje jednoszczytowe

Poniższy wykres przedstawia zestaw trzech preferencji, które mają pojedynczy szczyt w odniesieniu do wyników {A,B,C,D,E}. Na osi pionowej liczba reprezentuje ranking preferencji wyniku, gdzie 1 oznacza najbardziej preferowany. Dwa wyniki, które są równie preferowane, mają tę samą pozycję w rankingu.

Kolejność wyników jest następująca: A < B < C < D < E. Idealny wynik dla zielonego agenta to A, dla czerwonego to B, dla niebieskiego to C. Dla każdego agenta, kiedy oddalamy się od jego idealny wynik, ranking spada.

Można również sprawdzić, że w przypadku każdej trójki wyników jeden z nich nigdy nie jest na ostatnim miejscu – ten pośrodku. Np. w {A,B,C} B nigdy nie jest na ostatnim miejscu; w {C,D,E} D nigdy nie jest na ostatnim miejscu; itp.

Preferencje inne niż jednoszczytowe

Jeśli każdą z dwóch preferencji przedstawionych na dwóch poniższych wykresach doda się do trzech powyższych preferencji, wówczas otrzymana grupa czterech preferencji nie będzie miała jednego piku:

W przypadku preferencji niebieskich można zauważyć, że ranking preferencji spada w przypadku „D”, a następnie gwałtownie rośnie w przypadku „E”. Dowodzi to, że preferencje niebieskie nie są jednoszczytowe w odniesieniu do uporządkowania A

Zielone preferencje nie są formalnie jednoszczytowe, ponieważ mają dwa najbardziej preferowane wyniki: „B” i „C”. Takie preferencje są czasami nazywane jednopoziomowymi .

Interpretacje

Preferencje jednoszczytowe mają wiele interpretacji dla różnych zastosowań.

Prostym zastosowaniem preferencji ideologicznych jest myślenie o przestrzeni wyników. ${\ Displaystyle \ {x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n} \}}$ jako lokalizacje na ulicy i każdy $osoby$ fizycznej. Załóżmy, że na ulicy musi znajdować się pojedynczy przystanek autobusowy, a każdy chce dojść do przystanku jak najdalej. Osoby mają wówczas preferencje o pojedynczym szczycie: indywidualne ${\ displaystyle i}$ Idealnym punktem jest dla niej $.$ zachód, albo im dalej na wschód

Przestrzeń wyników można również traktować jako różne polityki w spektrum ideologicznym: polityki lewicy kontra polityki prawicy; polityka bardziej liberalna w porównaniu z polityką bardziej konserwatywną; polityka sprzyjająca wolnemu rynkowi kontra polityka opowiadająca się za interwencją państwa. Wyborcy mają preferencje jednoszczytowe, jeśli mają idealną równowagę między dwoma kierunkami spektrum ideologicznego i jeśli nie podobają im się polityki, im dalej są od idealnego punktu.

Preferencje jednostopniowe

Mówi się, że grupa agentów ma jednostopniowe preferencje co do zestawu możliwych wyników, jeśli wyniki można uporządkować w następujący sposób:

Każdy agent ma „ najgorszy wynik” w zestawie i -
bardziej preferowane są wyniki bardziej odległe od jego najgorszego wyniku .

Zobacz też

Mechanizm jednoparametrowy

Austen-Smith, David i Jeffrey Banks (2000). Pozytywna teoria polityczna I: Preferencje zbiorowe . Wydawnictwo Uniwersytetu Michigan. ISBN 978-0-472-08721-1 .
Mas-Colell, Andreu, Michael D. Whinston i Jerry R. Green (1995). Teoria mikroekonomii . Wydawnictwo Uniwersytetu Oksfordzkiego. ISBN 978-0-19-507340-9 . {{ cite book }} : CS1 maint: wiele nazw: lista autorów ( link )
Moulin, Hervé (1991). Aksjomaty wspólnego podejmowania decyzji . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 978-0-521-42458-5 .