Problem Nilu

Problem Nilu jest problemem matematycznym związanym z równym podziałem miar . Problem po raz pierwszy postawił Ronald Fisher w latach 1936–1938. Prezentują ją Dubins i Spanier w następujący sposób:

„Każdego roku Nil wylewał, nawadniając lub być może niszcząc części gruntów rolnych predynastycznej egipskiej wioski. Wartość różnych części ziemi zależała od wysokości powodzi. Chodziła o możliwość przekazania każdemu z k mieszkańców kawałek ziemi, którego wartość stanowiłaby 1/ k całkowitej wartości gruntu, bez względu na wysokość powodzi.

Formalnie dla każdej wysokości h istnieje nieatomowa miara v _h na lądzie, która reprezentuje wartość gruntu, gdy wysokość Nilu wynosi h .

Ogólnie rzecz biorąc, może istnieć nieskończenie wiele różnych wysokości, a co za tym idzie, nieskończenie wiele różnych miar. William Feller wykazał w 1938 r., że rozwiązanie dla ogólnego przypadku może nie istnieć.

Gdy liczba różnych wysokości (= miar) jest skończona, zawsze istnieje rozwiązanie. Po raz pierwszy zauważył to Jerzy Neyman w 1946 r. i udowodnił jako następstwo twierdzeń Dubinsa-Spaniera w 1961 r. Problem w tym przypadku nazywany jest problemem dokładnego podziału lub konsensusu podziału .

Powiązane problemy

Powiązanym problemem jest problem podobnych regionów badanych przez Neymana i Pearsona . Tutaj zamiast dzielić ziemię na k podzbiorów, szuka się tylko pojedynczego podzbioru, którego wartość dla każdej miary v _h jest r razy wartością całkowitą (gdzie r jest daną stałą w [0,1]). Z perspektywy egzystencjalnej problem ten jest równoważny problemowi Nilu, jak zauważył Georges Darmois . Różnią się jednak liczbą wymaganych cięć. Optymalną liczbę wymaganych cięć dla dowolnego r opisano w twierdzeniu Stromquista – Woodalla .