Problem przepływu przy minimalnych kosztach

Problem przepływu o minimalnym koszcie ( MCFP ) to problem optymalizacyjny i decyzyjny mający na celu znalezienie najtańszego możliwego sposobu przesłania określonej ilości przepływu przez sieć przepływową . Typowe zastosowanie tego problemu polega na znalezieniu najlepszej trasy dostawy z fabryki do magazynu, gdzie sieć drogowa wiąże się z pewną przepustowością i kosztami. Problem przepływu przy minimalnych kosztach jest jednym z najbardziej fundamentalnych spośród wszystkich problemów związanych z przepływem i cyrkulacją, ponieważ większość innych tego typu problemów można przedstawić jako problem przepływu przy minimalnych kosztach, a także można go efektywnie rozwiązać za pomocą algorytmu simpleks sieci .

Definicja

Sieć przepływów jest $V$ skierowanym z wierzchołkiem źródłowym $t \ in V}$ $\ Displaystyle s \ in$ ujścia ${$ , gdzie każda krawędź ${\ Displaystyle (u, v) \ in E}$ ma pojemność ${\ Displaystyle c (u, v)> 0}$ , przepływ ${\ Displaystyle f (u, v)}$ i kosztuje ${\ Displaystyle a (u, v)}$ z większość algorytmów przepływu o minimalnych kosztach obsługujących krawędzie z kosztami ujemnymi. Koszt wynosi $v$ ${\ Displaystyle f (u, v) \ cdot a (u, v)}$ . Problem wymaga $wysłania$ pewnej $ilości$ $źródła$ ujścia .

Definicja problemu polega na zminimalizowaniu całkowitego kosztu przepływu przez wszystkie krawędzie:

{\ Displaystyle \ suma _ {(u, v) \ w E} a (u, v) \ cdot f (u, v) )}

z ograniczeniami

Ograniczenia wydajności :	${\ Displaystyle \, f (u, v) \ równoważnik c (u, v)}$
Symetria skośna :	${\ Displaystyle \, f (u, v) = - f (v, u)}$
Zachowanie przepływu :	${\ Displaystyle \, \ suma _ {w \ w V} f (u, w) = 0 {\ tekst {dla wszystkich}} u \ neq s, t}$
Wymagany przepływ :	${\ Displaystyle \, \ suma _ {w \ w V} f (s, w) = d {\ tekst { i }}\suma _{w\w V}f(w,t)=d}$

Stosunek do innych problemów

Odmianą tego problemu jest znalezienie przepływu, który jest maksymalny, ale ma najniższy koszt wśród rozwiązań z maksymalnym przepływem. Można to nazwać problemem maksymalnego przepływu o minimalnym koszcie i jest to przydatne do znajdowania dopasowań o minimalnym koszcie maksymalnym .

W przypadku niektórych rozwiązań znalezienie maksymalnego przepływu przy minimalnym koszcie jest proste. Jeśli nie, maksymalny przepływ można znaleźć, $przeprowadzając$ binarne na .

Powiązanym problemem jest problem obiegu minimalnych kosztów , który można wykorzystać do rozwiązania przepływu minimalnych kosztów. Osiąga się $źródła$ $c(t,s)=d$ następnie utworzenie dodatkowej krawędzi od zlewu o pojemności $s$ i dolna granica $t}$ $t, s) = d}$ , zmuszając całkowity przepływ z do $displaystyle$ również być ${\ displaystyle d}$ .

Następujące problemy są szczególnymi przypadkami problemu przepływu minimalnych kosztów (dostarczamy po kolei krótkie szkice każdej możliwej redukcji):

Problem najkrótszej ścieżki (pojedyncze źródło). Wymagaj, aby wykonalne rozwiązanie problemu przepływu $przy$ minimalnych kosztach wysyłało jedną jednostkę przepływu z wyznaczonego $do$ zlewu . Daj wszystkim krawędziom nieskończoną pojemność.
Problem z maksymalnym przepływem . Niech wszystkie węzły mają zerowe zapotrzebowanie i niech koszt związany z przejściem przez dowolną krawędź będzie równy zeru. $Teraz$ nową $krawędź$ $_$ bieżącego _ _ $jest$ $przepływu$ jednostkowy koszt wysłania i ${\ Displaystyle (t, s)}$ nieskończona pojemność. (Ta redukcja jest również wspomniana w problemie z krążeniem ).
Problem z przydziałem . Załóżmy $,$ że każdy zestaw partycji w dwupartycji ma i oznacz dwupartycję przez ${\ displaystyle (X, Y)}$ . Daj każdemu ${\ Displaystyle$ $1/n}$ i daj każdemu $Y}$ popyt $Displaystyle 1/n}$ \ . Każda krawędź ma mieć jednostkową pojemność.

Rozwiązania

Problem przepływu minimalnych kosztów można rozwiązać za pomocą programowania liniowego , ponieważ optymalizujemy funkcję liniową, a wszystkie ograniczenia są liniowe.

Poza tym istnieje wiele algorytmów kombinatorycznych, obszerne badanie można znaleźć w rozdziale . Niektóre z nich są uogólnieniami algorytmów maksymalnego przepływu , inne wykorzystują zupełnie inne podejścia.

Dobrze znane podstawowe algorytmy (mają wiele odmian):

Anulowanie cyklu : ogólna metoda pierwotna.
Anulowanie cięcia : ogólna metoda dualna.
Minimalne anulowanie cyklu średniego : prosty algorytm silnie wielomianowy .
Kolejne najkrótsze ścieżki i skalowanie pojemności : metody dualne, które można postrzegać jako uogólnienie algorytmu Forda-Fulkersona .
Skalowanie kosztów : podejście pierwotne-podwójne, które można postrzegać jako uogólnienie algorytmu push-relabel .
Sieciowy algorytm simpleks : wyspecjalizowana wersja metody programowania liniowego simplex .
Niesprawny algorytm autorstwa DR Fulkersona

Aplikacja

Dopasowanie dwustronne o minimalnej wadze

Zmniejszanie dwustronnego dopasowania minimalnej wagi do problemu maksymalnego przepływu przy minimalnym koszcie

Biorąc pod uwagę graf dwudzielny $G = (A \cup B, E)$ , celem jest znalezienie dopasowania o maksymalnej liczności w G , które ma minimalny koszt. Niech w : E → R będzie funkcją wagi na krawędziach E . Problem dwustronnego dopasowania minimalnej wagi lub problem przypisania polega na znalezieniu idealnie dopasowanego $M \subseteq E$ , którego całkowita waga jest zminimalizowana. Chodzi o to, aby zredukować ten problem do problemu przepływu w sieci.

Niech $G' = (V' = ZA \cup b, mi' = mi)$ . Przypisz pojemność wszystkich krawędzi w E′ do 1. Dodaj wierzchołek źródłowy s i połącz go ze wszystkimi wierzchołkami w A′ i dodaj wierzchołek ujścia t i połącz wszystkie wierzchołki z grupy B′ z tym wierzchołkiem. Pojemność wszystkich nowych krawędzi wynosi 1, a ich koszt 0. Udowodniono, że w G istnieje idealne dopasowanie dwudzielne o minimalnej wadze G′ występuje minimalny przepływ kosztów . ^{[ martwy link ]}

Zobacz też

Bibliografia _ _ Thomas L. Magnanti i James B. Orlin (1993). Przepływy sieciowe: teoria, algorytmy i zastosowania . Prentice-Hall, Inc. ISBN 978-0-13-617549-0 .
Bibliografia _ „Pierwotna metoda minimalnych przepływów kosztów z zastosowaniami do problemów przydziału i transportu”. Nauka o zarządzaniu . 14 (3): 205–220. CiteSeerX 10.1.1.228.7696 . doi : 10.1287/mnsc.14.3.205 .
^ Refael Hassin (1983). „Problem przepływu minimalnych kosztów: ujednolicone podejście do istniejących algorytmów i nowy algorytm wyszukiwania drzewa”. Programowanie matematyczne . 25 : 228–239. doi : 10.1007/bf02591772 .
^ Thomas R. Ervolina i S. Thomas McCormick (1993). „Dwa silnie wielomianowe algorytmy anulowania cięcia dla przepływu sieci o minimalnych kosztach” . Dyskretna matematyka stosowana . 4 : 133-165. doi : 10.1016/0166-218x(93)90025-j .
^ Andrew V. Goldberg i Robert E. Tarjan (1989). „Znajdowanie obiegów o minimalnych kosztach poprzez anulowanie negatywnych cykli”. Dziennik ACM . 36 (4): 873–886. doi : 10.1145/76359.76368 .
^ Jack Edmonds i Richard M. Karp (1972). „Teoretyczne ulepszenia wydajności algorytmicznej w przypadku problemów z przepływem sieci” . Dziennik ACM . 19 (2): 248–264. doi : 10.1145/321694.321699 .
^ Andrew V. Goldberg i Robert E. Tarjan (1990). „Znajdowanie obiegów o minimalnych kosztach poprzez kolejne przybliżenia”. Matematyka Oper. Rez . 15 (3): 430–466. doi : 10.1287/moor.15.3.430 .
^ James B. Orlin (1997). „Algorytm simpleks sieci pierwotnej w czasie wielomianowym dla przepływów o minimalnych kosztach”. Programowanie matematyczne . 78 (2): 109–129. doi : 10.1007/bf02614365 . hdl : 1721.1/2584 .

Linki zewnętrzne