Problem pudełka zapałek Banacha
Problem dopasowania Banacha jest klasycznym problemem prawdopodobieństwa przypisywanym Stefanowi Banachowi . Feller mówi, że problem został zainspirowany humorystycznym odniesieniem do nawyku palenia Banacha w przemówieniu na jego cześć wygłoszonym przez Hugo Steinhausa , ale to nie Banach postawił problem ani nie udzielił odpowiedzi.
Załóżmy, że matematyk zawsze nosi dwa pudełka zapałek: jedno w lewej kieszeni, a drugie w prawej. Za każdym razem, gdy potrzebuje zapałki, jest równie prawdopodobne, że weźmie ją z obu kieszeni. Załóżmy, że sięga do kieszeni i odkrywa po raz pierwszy, że wybrane pudełko jest puste. Jeśli założymy, że każde z pudełek zapałek pierwotnie zawierało jakie jest prawdopodobieństwo, że w drugim pudełku znajdują się dopasowania
Rozwiązanie
zapałek w jego prawej kieszeni ma nieograniczoną liczbę zapałek i niech będzie liczbą zapałek usuniętych z tego pudełka, zanim lewe okaże się puste. Kiedy okaże się, że lewa kieszeń jest pusta, mężczyzna wybrał tę kieszeń razy. Wtedy to liczba sukcesów przed w próbach Bernoulliego z która ma M {\ ujemny rozkład dwumianowy , a zatem
- .
![{\displaystyle P[M=m]={\binom {N+m}{m}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{N+1+m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a77ade3e7949d8b9c30f2c72ceab9309f54809de)
Wracając do pierwotnego problemu, widzimy, że prawdopodobieństwo, że lewa kieszeń okaże się pusta jako pierwsza, wynosi , co jest równe , ponieważ oba są równie prawdopodobne. Widzimy, że liczba zapałek pozostałych w drugiej kieszeni wynosi
![{\displaystyle P[M<N+1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84840c4465590af7f940c1205dd4e93b3ad0c6aa)
- .
![{\displaystyle P[K=k]=P[M=N-k|M<N+1]=2P[M=N-k]={\binom {2N-k}{N-k}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{2N-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bc930e544d555642886ad0cb2b216ff22295a98)
Oczekiwany rozkład wynosi około . (Jest to pokazane za pomocą Stirlinga .) Więc zaczynając od pudełek z liczba dopasowań w drugim pudełku to .
