Problem z kulą armatnią

Kwadratowa piramida kul armatnich w kwadratowej ramie

W matematyce liczb figuratywnych problem kuli armatniej polega na pytaniu, które liczby są jednocześnie kwadratowymi i kwadratowymi piramidami . Problem można określić następująco: biorąc pod uwagę kwadratowy układ kul armatnich, dla jakiego rozmiaru kwadratów można te kule armatnie również ułożyć w kwadratową piramidę. Równoważnie, które kwadraty można przedstawić jako sumę kolejnych kwadratów, zaczynając od 1.

Sformułowanie jako równanie diofantyczne

Kiedy kule armatnie są ułożone w kwadratową ramkę, liczba kul jest kwadratową liczbą piramidalną; Thomas Harriot podał wzór na tę liczbę około 1587 roku, odpowiadając na pytanie zadane mu przez Sir Waltera Raleigha podczas ich wyprawy do Ameryki. Édouard Lucas sformułował problem kuli armatniej jako równanie diofantyczne

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {N} n ^ {2} = M ^ {2}}$

Lub

$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {6}} N (N + 1) (2N + 1) = {\ Frac {2N ^ {3} + 3N ^ {2} + N} {6}} = M ^ {2}.}$$

Rozwiązanie

4900 kul armatnich można ułożyć jako kwadrat o boku 70 lub kwadratową piramidę o boku 24

Lucas przypuszczał, że jedynymi rozwiązaniami są N = 1, M = 1 i N = 24, M = 70, używając 1 lub 4900 kul armatnich. Dopiero w 1918 roku GN Watson znalazł dowód na ten fakt, używając funkcji eliptycznych . Niedawno opublikowano elementarne dowody .

Aplikacje

Rozwiązanie N = 24, M = 70 można wykorzystać do skonstruowania sieci Leecha . Wynik ma znaczenie dla teorii strun bozonowych w 26 wymiarach.

Chociaż możliwe jest ułożenie geometrycznego kwadratu nierównymi kwadratami , nie jest to możliwe w przypadku rozwiązania problemu kuli armatniej. Kwadraty o bokach od 1 do 24 mają pola równe kwadratowi o boku 70, ale nie można ich ułożyć tak, aby układały się w płytki.

Powiązane problemy

Wersja problemu kuli armatniej z trójkątną piramidą, która ma dać idealny kwadrat z N -tej liczby czworościennej, miałaby N = 48. Oznacza to, że (24 × 2 = ) 48- ^ta liczba czworościenna równa się (70 ² × 2 ² = 140 ² = ) 19600. Jest to porównywalne z 24- ^tą kwadratową piramidą zawierającą łącznie 70 ² kul armatnich.

Podobnie, wersja problemu kuli armatniej z pięciokątną piramidą, mająca na celu utworzenie idealnego kwadratu, miałaby N = 8, co daje łącznie (14 × 14 =) 196 kul armatnich.

Jedynymi liczbami, które są jednocześnie piramidą trójkątną i kwadratową, są 1, 55, 91 i 208335.

Nie ma liczb (innych niż trywialne rozwiązanie 1), które są jednocześnie czworościennymi i kwadratowymi piramidami.

Zobacz też

• Kwadratowa trójkątna liczba , liczby, które są jednocześnie kwadratowe i trójkątne
• Szósta potęga , liczby, które są jednocześnie kwadratowe i sześcienne
• Zwarte upakowanie równych kulek

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Problem z kulą armatnią” . MathWorld .