Problem z pierścieniem na serwetki

Jeśli otwór o wysokości $.$ wywiercony prosto przez środek kuli, objętość pozostałego pasma nie zależy od rozmiaru kuli W przypadku większej kuli pasek będzie cieńszy, ale dłuższy.

Animacja uciętego pierścienia na serwetki o stałej wysokości

W geometrii problem pierścienia na serwetkę polega na znalezieniu objętości „paska” o określonej wysokości wokół kuli , czyli części, która pozostaje po wywierceniu otworu w kształcie walca przez środek kuli. Jest sprzecznym z intuicją faktem, że objętość ta nie zależy od promienia pierwotnej kuli , a jedynie od wysokości wynikowego pasma.

Problem nazywa się tak, ponieważ po wyjęciu walca z kuli pozostała opaska przypomina kształtem kółko do serwetki .

Oświadczenie

Załóżmy, że oś prawego walca kołowego $wysokość$ przez środek kuli o promieniu $i$ reprezentuje (zdefiniowaną jako odległość w kierunku równoległym do osi) części cylindra znajdującej się wewnątrz kuli. „Pasmo” to część kuli, która znajduje się na zewnątrz cylindra. Głośność pasma zależy od ${\ displaystyle h}$ , ale nie od: ${\ displaystyle R}$ :

$${\ Displaystyle V = {\ Frac {\ pi h ^ {3}} {6}}.}$$

Ponieważ promień $kurczy$$mógł$ , średnica cylindra również musi się zmniejszyć, aby pozostać taki sam. Pasek staje się grubszy, a to zwiększy jego głośność. Ale zmniejsza się również obwód, a to zmniejsza jego objętość. Te dwa efekty dokładnie się znoszą. W skrajnym przypadku najmniejszej możliwej kuli walec znika (jego promień wynosi zero), a wysokość jest $średnicy$ kuli. W tym przypadku głośność pasma wynosi objętość całej kuli , co odpowiada podanemu powyżej wzorowi.

Wczesne studium tego problemu zostało napisane przez XVII-wiecznego japońskiego matematyka Seki Kōwa . Według Smitha i Mikami (1914) , Seki nazwał tę bryłę pierścieniem łukowym lub po japońsku kokan lub kokwan .

Dowód

Załóżmy, że promień kuli wynosi, $a$ długość cylindra (lub tunelu) wynosi $\ displaystyle h}$ .

Z twierdzenia Pitagorasa promień walca wynosi

Znalezienie wymiarów pierścienia, który jest przekrojem poziomym.

$${\ Displaystyle {\ sqrt {R ^ {2} - \ lewo ({\ Frac {h} {2}} \ prawej) ^ {2}}}, \ qquad \ qquad (1)}$$

a promień poziomego przekroju kuli na wysokości ${\ displaystyle y}$ „równika” wynosi y

$${\ Displaystyle {\ sqrt {R ^ {2} -y ^ {2}}}. \ qquad \ qquad (2)}$$

Przekrój poprzeczny pasma z płaszczyzną na wysokości $obszar$ wewnątrz większego okręgu o promieniu określonym przez (2) i na zewnątrz mniejszego okręgu o promieniu określonym przez (1). Pole przekroju to zatem pole większego koła minus pole mniejszego koła:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & {} \ quad \ pi ({\ tekst {większy promień}}) ^ {2} - \ pi ({\ tekst {mniejszy promień}}) ^ {2} \\ & = \ pi \ lewo ({\ sqrt {R ^ {2} -y ^ {2}}} \ prawo) ^ {2} - \ pi \ lewo ({\ sqrt {R ^ {2} - \ lewo ({\ frac {h }{2}}\right)^{2}\,{}}}\,\right)^{2}=\pi \left(\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}-y^{2}\right).\end{aligned}}}$$

Promień R nie pojawia się w ostatniej ilości. $\ tfrac {h} {2}} \ równoważnik R$ pole przekroju poziomego na wysokości nie zależy od y $równoważnik$${$ . Głośność zespołu jest

${\ Displaystyle \ int _ {-h / 2} ^ {h / 2} ({\ tekst {pole przekroju na wysokości}} y) \, dy,}$

i to nie zależy od ${\ displaystyle R}$ .

Jest to zastosowanie zasady Cavalieriego : objętości o jednakowych przekrojach poprzecznych są równe. Rzeczywiście, pole przekroju poprzecznego jest takie samo, jak pole odpowiadającego mu przekroju kuli o promieniu , która ma objętość ${\ displaystyle h/2}$

$${\ Displaystyle {\ Frac {4} {3}} \ pi \ lewo ({\ Frac {h} {2}} \ prawej) ^ {3} = {\ Frac {\ pi h ^ {3}} {6}}.}$$

Zobacz też

• Rachunek wizualny , intuicyjny sposób rozwiązywania tego typu problemów, pierwotnie stosowany do znajdowania obszaru pierścienia , biorąc pod uwagę tylko długość jego cięciwy
• Struna opasująca Ziemię , kolejny problem, w którym promień kuli lub koła jest wbrew intuicji nieistotny

• Devlin, Keith (2008), The Napkin Ring Problem , Mathematical Association of America , zarchiwizowane z oryginału w dniu 30 kwietnia 2008 r . , pobrane 25 lutego 2009 r.
• Devlin, Keith (2008), Lockhart's Lament , Mathematical Association of America , zarchiwizowane z oryginału w dniu 10 maja 2008 r . , Pobrane 25 lutego 2009 r.
• Gardner, Martin (1994), „Dziura w kuli”, Moje najlepsze łamigłówki matematyczne i logiczne , Dover Publications , s. 8
• Jones, Samuel I. (1912), Mathematical Wrinkles for Teachers and Private Learners , Norwood, MA: JB Cushing Co. Problem 132 pyta o objętość kuli z wywierconym w niej cylindrycznym otworem, ale nie zauważa niezmienności problemu przy zmianach promienia.
•   Levi, Mark (2009), „6.3 Ile złota jest w obrączce?”, Mechanika matematyczna: wykorzystywanie rozumowania fizycznego do rozwiązywania problemów , Princeton University Press, s. 102–104, ISBN 978-0-691-14020-9 . Levi argumentuje, że objętość zależy tylko od wysokości otworu, opierając się na fakcie, że pierścień może zostać wymieciony przez pół-dysk, którego wysokość jest jego średnicą.
• Linie, L. (1965), Geometria bryły: z rozdziałami o siatkach kosmicznych, pakietach sfer i kryształach , Dover . Reprint wydania z 1935 roku. Zadanie na stronie 101 opisuje kształt kuli z usuniętym cylindrem jako „pierścień na serwetkę” i prosi o dowód, że objętość jest taka sama jak kuli o średnicy równej długości otworu.
• Pólya, George (1990), Matematyka i wiarygodne rozumowanie , tom. I: Indukcja i analogia w matematyce , Princeton University Press, s. 191–192 . Przedruk wydania z 1954 roku.
•   Smith, David E .; Mikami, Yoshio (1914), A History of Japanese Mathematics , Open Court Publishing Company, s. 121–123 . Opublikowane ponownie przez Dover, 2004, ISBN 0-486-43482-6 . Smith i Mikami omawiają problem pierścieni na serwetki w kontekście dwóch rękopisów Seki na temat mierzenia ciał stałych, Kyuseki i Kyuketsu Hengyo So.

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Pierścień sferyczny” . MathWorld .