Produkt knota

W teorii prawdopodobieństwa iloczyn Wicka jest szczególnym sposobem definiowania skorygowanego iloczynu zbioru zmiennych losowych . W produkcie najniższego rzędu korekta odpowiada odjęciu wartości średniej, aby otrzymać wynik, którego średnia wynosi zero. W przypadku produktów wyższego rzędu korekta polega na odjęciu produktów niższego rzędu (zwykłych) zmiennych losowych w sposób symetryczny, ponownie pozostawiając wynik, którego średnia wynosi zero. Iloczyn Wicka jest wielomianową funkcją zmiennych losowych, ich wartości oczekiwanych i wartości oczekiwanych ich iloczynów.

Definicja iloczynu Wicka od razu prowadzi do potęgi Wicka pojedynczej zmiennej losowej, co pozwala na zdefiniowanie analogów innych funkcji zmiennych losowych na podstawie zastąpienia potęg zwykłych w rozwinięciach szeregów potęgowych potęgami Wicka. Potęgi Wicka powszechnie spotykanych zmiennych losowych można wyrazić za pomocą funkcji specjalnych, takich jak wielomiany Bernoulliego lub wielomiany Hermite'a .

Produkt Wick nosi imię fizyka Gian-Carlo Wick , por. Twierdzenie Wicka .

Definicja

Załóżmy, że X ₁ , ..., X _k są zmiennymi losowymi o skończonych momentach . Produkt Wicka

${\ Displaystyle \ langle X_ {1}, \ kropki, X_ {k} \ rangle \,}$

jest rodzajem iloczynu zdefiniowanego rekurencyjnie w następujący sposób:

${\ Displaystyle \ langle \ rangle = 1 \,}$

(tj. pusty iloczyn — iloczyn braku jakichkolwiek zmiennych losowych — wynosi 1). Dla k ≥ 1 nakładamy wymaganie

$\ Displaystyle {\ częściowy \ langle X_ { 1},\dots ,X_{k}\rangle \over \partial X_{i}}=\langle X_{1},\dots ,X_{i-1},{\widehat {X}}_{i} ,X_{i+1},\kropki ,X_{k}\rangle ,}$

gdzie oznacza, że ​​X ${\ Displaystyle {\ widehat {X}} _ {i}$ jest nieobecny, wraz z ograniczeniem, że średnia wynosi zero, _ja

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} \ langle X_ {1}, \ kropki, X_ {k} \ rangle = 0. \,}$

Przykłady

Wynika, że

${\ Displaystyle \ langle X \ rangle = X- \ nazwa operatora {E} X, \,}$

${\ Displaystyle \ langle X, Y \ rangle = XY- \ nazwa operatora {E} Y \ cdot X- \ nazwa operatora {E} X \ cdot Y + 2 (\ nazwa operatora {E} X) (\ nazwa operatora {E} Y) -\operatorname {E} (XY).\,}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ langle X, Y, Z \ rangle = & XYZ \\& - \ nazwa operatora {E} Y \ cdot XZ \\&- \ nazwa operatora {E} Z \ cdot XY \\&- \operatorname {E} X\cdot YZ\\&+2(\operatorname {E} Y)(\operatorname {E} Z)\cdot X\\&+2(\operatorname {E} X)(\operatorname { E} Z)\cdot Y\\&+2(\nazwa_operatora {E} X)(\nazwa_operatora {E} Y)\cdot Z\\&-\nazwa_operatora {E} (XZ)\cdot Y\\&- \nazwa_operatora {E} (XY)\cdot Z\\&-\nazwa_operatora {E} (YZ)\cdot X\\&-\nazwa_operatora {E} (XYZ)\\&+2\nazwa_operatora {E} (XY )\nazwa_operatora {E} Z+2\nazwa_operatora {E} (XZ)\nazwa_operatora {E} Y+2\nazwa_operatora {E} (YZ)\nazwa_operatora {E} X\\&-6(\nazwa_operatora {E} X)(\nazwa_operatora {E} Y)(\nazwa_operatora {E} Z).\end{wyrównane}}}$

Kolejna konwencja notacyjna

W notacji konwencjonalnej wśród fizyków iloczyn Wicka jest często oznaczany w następujący sposób:

${\ Displaystyle: X_ {1}, \ kropki, X_ {k}: \,}$

i notacja w nawiasach kątowych

${\ Displaystyle \ langle X \ rangle \,}$

służy do oznaczenia oczekiwanej wartości zmiennej losowej X .

moce knota

N - ta potęga knota zmiennej losowej X to iloczyn knota

${\ Displaystyle X' ^ {n} = \ langle X, \ kropki, X \ rangle \,}$

z n czynnikami.

Ciąg wielomianów P _n taki, że

${\ Displaystyle P_ {n} (X) = \ langle X, \ kropki, X \ rangle = X' ^ {n} \,}$

tworzą ciąg Appella , czyli spełniają tożsamość

${\ Displaystyle P_ {n} '(x) = nP_ {n-1} (x), \,}$

₀ dla n = 0, 1, 2, ... i P ( x ) jest niezerową stałą.

Na przykład można pokazać, że jeśli X jest równomiernie rozłożony w przedziale [0, 1], to

${\ Displaystyle X' ^ {n} = B_ {n} (X) \,}$

gdzie B _n jest wielomianem Bernoulliego n -tego stopnia . Podobnie, jeśli X ma rozkład normalny z wariancją 1, to

${\ Displaystyle X' ^ {n} = H_ {n} (X) \,}$

gdzie H _n jest n-tym wielomianem hermite'a .

Dwumian newtona

${\ Displaystyle (aX + bY) ^ {'n} = \ suma _ { i=0}^{n}{n \wybierz i}a^{i}b^{ni}X^{'i}Y^{'{ni}}}$

Wykładniczy knota

${\ Displaystyle \ langle \ operatorname {exp} (aX) \ rangle \ {\ stackrel {\ mathrm {def}}}}} \ \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {a^{i}}{i!}}X^{'i}}$

• Wick Product Springer Encyklopedia matematyki
• Florin Avram i Murad Taqqu , (1987) „Niecentralne twierdzenia graniczne i wielomiany Appella”, Annals of Probability , tom 15, numer 2, strony 767–775, 1987.
• Hida, T. i Ikeda, N. (1967) „Analiza przestrzeni Hilberta z odtwarzającym się jądrem wynikającym z wielokrotnej całki Wienera”. proc. Piąte Sympozjum Berkeley. Matematyka Statystyk. i Prawdopodobieństwo (Berkeley, Kalifornia, 1965/66). Tom. II: Wkład do teorii prawdopodobieństwa, część 1 s. 117–143 Univ. Kalifornijska prasa
• Wick, GC (1950) „Ocena macierzy kolizji”. Fizyczne Rev. 80 (2), 268-272.