Projekcja Hajka

W statystyce rzut Hájka $displaystyle$ losowej na zbiór niezależnych $T$ losowych jest szczególną z ${\ Displaystyle X_ {1}, \ kropki, X_ {n}},$ który, luźno mówiąc, oddaje odmianę ${\ displaystyle T}$ w optymalny sposób. Jej nazwa pochodzi od czeskiego statystyki Jaroslava Hájka .

Definicja

$\ Displaystyle X_ {1}, \ kropki, X_ {n$ uwagę zmienną losową $\ hat {T}}}$ zbiór niezależnych wektorów losowych, projekcja Hájka ${\ displaystyle$$^$ z ${\ Displaystyle T}$ na ${\ Displaystyle \ {X_ {1}, \ kropki, X_ {n} \}}$ jest podane przez

${\ Displaystyle {\ hat {T}} = \ nazwa operatora {E} (T) + \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ lewo [\ nazwa operatora {E} (T \ mid X_ {i} )-\operatorname {E} (T)\right]=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} (T\mid X_{i})-(n-1)\operatorname {E } (T)}$

Nieruchomości

• Rzut Hájka $\$ rzut $T}$ displaystyle na liniową podprzestrzeń wszystkich losowych postaci ${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} g_ {i} (X_ {i})}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {T }}}$ , gdzie ${\ Displaystyle g_ {i}: \ mathbb {R} ^ {d} \ do \ mathbb {R}} są$ dowolnymi mierzalnymi funkcjami takimi, że ${\ Displaystyle \ operatorname { mi} (g_ {i} ^ {2} (X_ {i})) <\ infty}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle i = 1, \ kropki, n}$
• ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} ({\ kapelusz {T}} \ środkowy X_ {i}) = \ nazwa operatora {E} (T \ środek X_ {i})}$ i stąd ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} ({\ kapelusz {T}}) = \ nazwa operatora {E} (T)}$
• W pewnych warunkach asymptotyczne rozkłady sekwencji statystyk ${\ Displaystyle T_ {n} = T_ {n} (X_ {1}, \ kropki, X_ {n} )}$ i kolejność jego rzutów Hájka ${\ Displaystyle {\ kapelusz {T}} _ {n} = {\ kapelusz {T}} _ {n }(X_{1},\kropki,X_{n})}$ pokrywają się, a mianowicie, jeśli ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Var} (T_ {n}) / \ nazwa operatora {Var} ({\ kapelusz {T}} _ {n})\do 1}$ , wtedy ${\ Displaystyle {\ Frac {T_ {n} - \ nazwa operatora {E} (T_ {n})}} {\ sqrt {\ nazwa operatora {Var} (T_ {n})}} }-{\frac {{\hat {T}}_{n}-\operatorname {E} ({\hat {T}}_{n})}{\sqrt {\operatorname {Var} ({\hat {T}}_{n})}}}} zbiega się$ z prawdopodobieństwem do zera .