Przestrzeń Hamminga
W statystyce i teorii kodowania przestrzeń Hamminga ( cześć amerykańskiego matematyka Richarda Hamminga ) jest zwykle zbiorem wszystkich binarnych o długości . Znajduje zastosowanie w teorii kodowania sygnałów i transmisji.
Mówiąc bardziej ogólnie, przestrzeń Hamminga można zdefiniować na dowolnym (zbiorze) alfabetu Q jako zbiór słów o stałej długości N z literami z Q . Jeśli Q jest ciałem skończonym , to przestrzeń Hamminga nad Q jest N -wymiarową przestrzenią wektorową nad Q. W typowym przypadku binarnym polem jest więc GF(2) (również oznaczane przez Z 2 ).
W teorii kodowania, jeśli Q ma q elementów, to każdy podzbiór C (zwykle zakładany o liczności co najmniej dwóch) N -wymiarowej przestrzeni Hamminga nad Q nazywany jest kodem q-ary o długości N ; elementy C nazywane są słowami kodowymi . W przypadku, gdy C jest liniową podprzestrzenią swojej przestrzeni Hamminga, nazywa się to kodem liniowym . Typowym przykładem kodu liniowego jest Kod Hamminga . Kody zdefiniowane za pomocą przestrzeni Hamminga z konieczności mają tę samą długość dla każdego słowa kodowego, dlatego nazywane są kodami blokowymi, gdy konieczne jest odróżnienie ich od kodów o zmiennej długości , które są zdefiniowane przez unikalną faktoryzację na monoidzie.
Odległość Hamminga nadaje przestrzeni Hamminga metrykę , która jest niezbędna do zdefiniowania podstawowych pojęć teorii kodowania, takich jak wykrywanie błędów i kody korygujące błędy .
Rozważano również przestrzenie Hamminga nad alfabetami niebędącymi polami, zwłaszcza nad skończonymi pierścieniami (zwłaszcza nad Z 4 ), dając początek modułom zamiast przestrzeni wektorowych i pierścieniowo-liniowym kodom (identyfikowanym za pomocą submodułów ) zamiast kodów liniowych. Typową metryką używaną w tym przypadku jest odległość Lee . Istnieje izometria Graya między (tj. GF (2 2m )) z odległością Hamminga i (oznaczone również jako GR (4, m)) z odległością Lee.
