Przybliżenie Spouge'a

W matematyce przybliżenie Spouge'a jest wzorem do obliczania przybliżenia funkcji gamma . Został nazwany na cześć Johna L. Spouge'a, który zdefiniował formułę w artykule z 1994 roku. Formuła jest modyfikacją przybliżenia Stirlinga i ma postać

${\ Displaystyle \ Gamma (z + 1) = (z + a) ^ {z + {\ Frac {1} {2}}} e ^ {- za} \ lewo (c_ {0} + \ suma _ {k = 1}^{a-1}{\frac {c_{k}}{z+k}}+\varepsilon _{a}(z)\right)}$

gdzie a jest dowolną dodatnią liczbą całkowitą, a współczynniki podane są przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} c_ {0} & = {\ sqrt {2 \ pi}} \\ c_ {k} & = {\ Frac {(-1) ^ {k-1}} {(k -1)!}}(-k+a)^{k-{\frac {1}{2}}}e^{-k+a}\qquad k\in \{1,2,\kropki ,a -1\}.\end{wyrównane}}}$

Spouge udowodnił, że jeśli Re( z ) > 0 i a > 2, względny błąd odrzucania ε _a ( z ) jest ograniczony przez

${\ Displaystyle a ^ {- {\ Frac {1} {2}}} (2 \ pi) ^ {-a - {\ Frac {1} {2}}}.}$

Formuła jest podobna do przybliżenia Lanczosa , ale ma pewne odrębne cechy. Podczas gdy formuła Lanczosa wykazuje szybszą zbieżność, współczynniki Spouge'a są znacznie łatwiejsze do obliczenia, a błąd można ustawić na dowolnie niskim poziomie. Formuła jest zatem wykonalna dla oceny funkcji gamma z dowolną precyzją . Należy jednak zachować szczególną ostrożność przy obliczaniu sumy ze względu na duże rozmiary współczynników c _k , a także ich znak przemienny. Na przykład dla A = 49, należy obliczyć sumę z dokładnością do około 65 miejsc dziesiętnych, aby uzyskać obiecane 40 miejsc dziesiętnych.

Zobacz też

• Przybliżenie Stirlinga
• Przybliżenie Lanczosa