Przypuszczenie Aizermana

W sterowaniu nieliniowym hipoteza Aizermana lub problem Aizermana stwierdza , że ​​​​system liniowy w sprzężeniu zwrotnym z nieliniowością sektora byłby stabilny, gdyby system liniowy był stabilny dla dowolnego liniowego wzmocnienia sektora. To przypuszczenie okazało się fałszywe, ale doprowadziło do (ważnych) wystarczających kryteriów absolutnej stabilności .

Matematyczne stwierdzenie hipotezy Aizermana ( problem Aizermana )

Rozważmy system z jedną nieliniowością skalarną

${\ Displaystyle {\ Frac {dx} {dt}} = Px + qf (e), \ quad e = r ^{*}x\quad x\in \mathbb {R} ^{n},}$

gdzie P jest stałą n×n-macierzą, q, r są stałymi n-wymiarowymi wektorami, ∗ jest operacją transpozycji, f(e) jest funkcją skalarną, a f(0)=0. Załóżmy, że nieliniowość f jest ograniczona sektorowo, co oznacza, że ​​dla niektórych rzeczywistych i ${\$$displaystyle k_ {2}}$ z ${2}$$displaystyle k_ {1}<$ } $,$ funkcja

${\ Displaystyle k_ {1}< {\ Frac {f (e)} {e} <k_ {2}, \ quad \ forall \; e\neq 0.}$

Zatem hipoteza Aizermana jest taka, że ​​układ jest stabilny w dużej mierze (tzn. unikalny punkt stacjonarny jest atraktorem globalnym ), jeśli wszystkie układy liniowe o f(e)=ke, k ∈(k1,k2) są asymptotycznie stabilne.

Istnieją kontrprzykłady do hipotezy Aizermana, że ​​nieliniowość należy do sektora stabilności liniowej, a jedyna stabilna równowaga współistnieje ze stabilnym rozwiązaniem okresowym — ukrytą oscylacją .

Wzmocnieniem hipotezy Aizermana jest hipoteza Kalmana (lub problem Kalmana ), gdzie zamiast warunku na nieliniowość wymaga się, aby pochodna nieliniowości należała do liniowego sektora stabilności.

Dalsza lektura

• Atherton, DP; Siouris, GM (1977). „Nieliniowa inżynieria sterowania”. Transakcje IEEE dotyczące systemów, człowieka i cybernetyki . 7 (7): 567–568. doi : 10.1109/TSMC.1977.4309773 .

Linki zewnętrzne

• „Kontrprzykłady do przypuszczeń Aizermana i Kalmana oraz opis metody funkcji” (PDF) .