Przypuszczenie o strukturze plastra miodu

Ten plaster miodu tworzy okrągłe opakowanie , z okręgami wyśrodkowanymi na każdym sześciokącie.

Hipoteza plastra miodu stwierdza, że regularna sześciokątna siatka lub plaster miodu ma najmniejszy całkowity obwód z dowolnego podziału płaszczyzny na obszary o równej powierzchni. Przypuszczenie zostało udowodnione w 1999 roku przez matematyka Thomasa C. Halesa .

Twierdzenie

Niech będzie dowolnym $Gamma}$ gładkich krzywych w , dzielącym płaszczyznę na regiony (połączone składowe dopełnienia $Γ$ $\$ ), z których wszystkie są ograniczone i mają powierzchnię jednostkową. Następnie, uśredniona na dużych dyskach w płaszczyźnie, średnia długość $,$ jak w przypadku płytek sześciokątnych. Twierdzenie ma zastosowanie, nawet jeśli uzupełnienie ${\ displaystyle \ Gamma}$ ma dodatkowe składniki, które są nieograniczone lub których powierzchnia nie jest równa jeden; pozwalając tym dodatkowym komponentom nie skrócić ${\ displaystyle \ Gamma}$ . Formalnie niech $wyśrodkowany$ $}}$ o promieniu w początku, niech $Displaystyle$ oznacza całkowitą długość ${\ Displaystyle \ Gamma \ czapka B (0, r)}$ i niech ${\ Displaystyle A_ {r}}$ oznaczają całkowity obszar ${\ Displaystyle B (0, r)}$ pokryty ograniczonymi składnikami powierzchni jednostkowej. (Jeśli są to jedyne składniki, to twierdzenie stwierdza, że ${\ Displaystyle A_ {r} = \ pi r ^ {2}}}$

{\ Displaystyle \ limsup _ {r \ do \ infty} {\ Frac {L_ {r}} {A_ {r}}} \ geq {\ sqrt [{4}] {12}}.}

Wartość po prawej stronie nierówności to graniczna długość na jednostkę powierzchni sześciokątnej płytki.

Historia

Pierwsza wzmianka o hipotezie pochodzi z 36 rpne od Marka Terencjusza Warrona , ale często przypisywana jest Pappusowi z Aleksandrii ( ok. 290 - ok. 350 ). W XVII wieku Jan Brożek posłużył się podobnym twierdzeniem, aby dowieść, dlaczego pszczoły tworzą sześciokątne plastry miodu . W 1943 László Fejes Tóth opublikował dowód dla szczególnego przypadku hipotezy, w której każda komórka musi być wypukłym wielokątem . Pełne przypuszczenie zostało udowodnione w 1999 roku przez matematyka Thomas C. Hales , który wspomina w swojej pracy, że istnieją powody, by sądzić, że przypuszczenie to mogło być obecne w umysłach matematyków przed Warronem.

Jest to również związane z najgęstszym upakowaniem okręgów na płaszczyźnie, w którym każdy okrąg jest styczny do sześciu innych okręgów, które zajmują nieco ponad 90% powierzchni płaszczyzny.

Przypadek, w którym problem ogranicza się do kwadratowej siatki, został rozwiązany w 1989 roku przez Jaigyoung Choe, który udowodnił, że optymalną figurą jest nieregularny sześciokąt.

Zobacz też

Struktura Weaire-Phelana , kontrprzykład dla hipotezy Kelvina dotyczącej rozwiązania podobnego problemu w 3D.